algorithm - 通过归纳证明算法正确

Question

我应该通过归纳来证明一个算法，并且对于所有 n >= 0 ，它返回 3 ⁿ - 2 ^{n 。这是用 Eiffel 编写的算法。}

P(n:INTEGER):INTEGER;
  do
    if n <= 1 then
        Result := n
    else
        Result := 5*P(n-1) - 6*P(n-2)
    end
  end

我的理解是，你分三步证明。基本步骤、归纳假设和完整性证明。这就是我目前所拥有的。

基础：

P(0) 返回 0，并且 3 ⁰ - 2 ⁰ = 0。

P(1) 返回 1，并且 3 ¹ - 2 ¹ = 1。

归纳假设：

假设 P(k)对于 0 <= k < n返回 3 ^k - 2 ^{k 。}

完整性证明：

对于 n，P(n) 返回 5(P(n-1)) - 6(P(n-2))

5(P(n-1)) - 6(P(n-2))

5(3 ^n-1 - 2 ^n-1 ) - 6(3 ^n-2 - 2 ^n-2 ) <- 基于归纳假设

这是我卡住的部分。我到底应该如何将其减少到看起来像 3 ⁿ - 2 ⁿ？

Answer 1

使用 3 ^n-1 = 3.3 ^n-2和 2 ^n-1 = 2.2 ^n-2的事实：

5(3 ^n-1 - 2 ^n-1 ) - 6(3 ^n-2 - 2 ^n-2 )

= 15(3 ^n-2 ) - 10(2 ^n-2 ) - 6(3 ^n-2 ) + 6(2 ^n-2 )

= 9.3 ^n-2 - 4.2 ^n-2

= 3 ⁿ - 2 ⁿ

Answer 2

  5(3^(n-1)-2^(n-1))-6(3^(n-2)-2^(n-2)) =
= 5*3^(n-1)-5*2^(n-1)-6*3^(n-2)+6*2^(n-2) =
= 5*3^(n-1)-5*2^(n-1)-2*3^(n-1)+3*2^(n-1) =
  --------- ========= --------- =========
= 3*3^(n-1)-2*2^(n-1) = 
= 3^n - 2^n