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玩家A和B以最佳方式玩游戏并交替移动。它们从 1 开始。轮到每个玩家将当前数字与 [2,9] 中的任何整数相乘。如果在轮到玩家之后，数字大于或等于n，则他获胜。

A 开始。给定n，谁赢了？

例如，

数字 2,3..,9 是中奖号码（玩家 A 将获胜）

数字 10,11,..,18 正在输号（玩家 A 会输）

数字 19,20,..,162 是中奖号码

获胜的策略是什么？如何应用 Sprague-Grundy 定理来解决这个问题？

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根据Sprague-Grundy 定理，公平游戏的每个状态都可以分配一个称为Grundy 数的非负整数，这样在该状态下移动的玩家将在该数为 0 时输，如果该数为非零则为赢.

如果状态的 Grundy 数已知，那么获胜的策略是始终移动到 Grundy 数为 0 的状态。

为一般博弈的某些状态计算 Grundy 数的算法如下：

if current player can't make a valid move:
    Grundy number := 0 (this player has lost)
else:
    for each move in this state:
        for each sub-game the game splits into after that move:
            compute Grundy number of the sub-game
        compute XOR of Grundy numbers of the sub-games
    Grundy number := MEX of those XORs

MEX是最小异函数。MEX一个非负整数集合中的一个等于最小的非负整数，它不属于这个集合。

例如：

MEX(0) = 1
MEX(0, 1) = 2
MEX(0, 2) = 1
MEX(0, 1, 2) = 3
MEX(0, 1, 3) = 2
MEX(1, 2, 3) = 0
MEX(10, 100, 1000) = 0

在 Python 3 中这个游戏的这个算法的简单实现可能如下所示：

import functools
from itertools import count

def mex(s):
    for i in count():
        if i not in s:
            return i

@functools.lru_cache(10000)
def sprague_grundy(n, cur=1):
    if cur >= n:
        return 0
    move_results = {sprague_grundy(n, cur*move) for move in range(2, 9+1)}
    return mex(move_results)

for i in count(1):
    print(sprague_grundy(i))

通常，理解 Grundy 数的一般公式的最简单方法就是查看序列并尝试注意关系。在这个游戏中，您可以通过简单地查看玩家 A 在初始状态下获胜的游戏的n 个数字来计算出一般公式，而无需实际计算 Grundy 数字。

但是我们仍然可以查看游戏初始状态连续n的 Grundy 数的计数（0 表示玩家 A 在初始状态下输，1,2,3,4 表示玩家 A 赢）：

$ python3 sprague_grundy.py | uniq -c
     1 0
     1 1
     2 2
     4 3
     1 4
     9 0
    18 1
    36 2
    72 3
    18 4
   162 0
   324 1
   648 2
  1296 3
   324 4
  2916 0

可以注意到，对于玩家 A，所有失败的初始状态都是

n \in \left( 9\cdot18^k .. 18^{k+1} \right ]: \textup{for} : k=0,1,2,...

或者换句话说，玩家 A 的初始状态是失败 iff

\left\lfloor{\log_{18}{\frac{n-1}{9}}}\right\rfloor > \left\lfloor{\log_{18}{\frac{n}{18}}}\右\r地板

于 2015-01-23T03:33:30.197 回答
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基本上，您创建一个数组A[]，其中A[i]存储数字i是相对于开始游戏的玩家的获胜位置还是失败。让它成为玩家A。基本规则，从一个失败的位置你只能去一个获胜的位置，并且一个获胜的位置是这样的，总是有一个失败的位置可以从它到达。下面的代码是解释性的（1表示赢得A，0表示失败）。

       for each i from 1 to 9
           A[i]=1
       for each i from 10 to n
           flag=0
           A[i]=0
           for each j from 2 to 9
               if i is divisible j and A[i/j] is 0
                  flag=1
           if flag is 1
               A[i]=1

现在，如果A[n]为1，则为他赢，否则他输。
这在时间和内存上都是O(n)的解决方案。你可以减少内存，但是时间我想不出更好的解决方案。可能有一个O(1)解决方案，但我不知道。

于 2015-01-23T00:34:27.100 回答