algorithm - 从 SAT 转换为 3-SAT

Question

有谁知道一个好的程序可以将每个子句具有任意数量的变量的 CNF 文件转换为每个子句恰好有 3 个变量的 CNF 文件（3-CNF）？我在计算机科学书籍中看到过这种算法，但在任何地方都找不到实现，如果其他人已经完成了，我不想浪费时间自己实现它。谢谢！

Answer 1

我也不知道有什么程序可以做到这一点，但是算法真的很简单，所以我只写了以下 python 脚本（下载），它读取 DIMACS 格式的一般 CNF，并在 DIMACS 中写入等效 3-SAT 问题的 CNF格式：

from __future__ import print_function
import fileinput

cnf = list()
cnf.append(list())
maxvar = 0

for line in fileinput.input():
    tokens = line.split()
    if len(tokens) == 0 or tokens[0] == "p" or tokens[0] == "c":
        continue
    for tok in tokens:
        lit = int(tok)
        maxvar = max(maxvar, abs(lit))
        if lit == 0:
            cnf.append(list())
        else:
            cnf[-1].append(lit)

assert len(cnf[-1]) == 0
cnf.pop()

new_cnf = list()
for clause in cnf:
    while len(clause) > 3:
        new_clause = list()
        for i in range(0, len(clause), 2):
            if i+1 < len(clause):
                new_cnf.append(list())
                new_cnf[-1].append(clause[i])
                new_cnf[-1].append(clause[i+1])
                maxvar += 1
                new_cnf[-1].append(-maxvar)
                new_clause.append(maxvar)
            else:
                new_clause.append(clause[i])
        clause = new_clause
    new_cnf.append(clause)

print("p cnf %d %d" % (maxvar, len(new_cnf)))
for clause in new_cnf:
    print(" ".join([ "%d" % lit for lit in clause ]) + " 0")

有趣的一点当然是for clause in cnf:循环，它将存储在中的一般 sat 问题cnf转换为存储在中的 3-sat 实例new_cnf。它通过翻译一个子句来做到这一点，例如

(A[1] or A[2] or A[3] or A[4] or A[5] or A[6] or A[7])

进入以下一组子句。

(A[1] or A[2] or ~X[1])
(A[3] or A[4] or ~X[2])
(A[5] or A[6] or ~X[3])

(X[1] or X[2] or X[3] or A[7])

前三个子句被添加到new_cnf. 最后一个子句不是 3-sat，因此算法在最后一个子句上重新运行，产生以下新子句：

(X[1] or X[2] or ~Y[1])
(X[3] or A[7] or ~Y[2])

(Y[1] or Y[2])

这都是 3-sat 子句，因此它们被添加到new_cnf并且算法继续从 的下一个子句cnf。（如果最后一个子句不是 3-sat，算法将继续处理它，直到只剩下 3-sat 子句。每次迭代最后一个子句的长度大约减半。）

Answer 2

SAT 在多项式时间内是不可解的（根据目前的知识）。2-SAT 在多项式时间内是可解的。

所以从通用 SAT 到 2-SAT 的转换不会很快（不是在多项式时间内），否则我们会找到 SAT 的多项式时间算法。

换句话说，将 SAT 转换为 2-SAT 所需的时间与仅解决 SAT 所需的时间大致相同。

也许您的意思是 3-SAT，而不是 2-SAT？