algorithm - 多边形（或其部分）的圆形逼近

Question

我的问题的简短描述

我需要为 3D 打印实现从 G1 指令到 G2 和 G3 ( http://www.cnccookbook.com/CCCNCGCodeArcsG02G03.htm ) 的GCODE 自动重构。

G1 是带有打印的直线运动（路径由矢量描述）。

我正在搜索基于给定向量路径的算法来近似圆/弧（特别是它的中点）。请注意，G2 和 G3 无法打印不属于圆的曲线 - 因此并非每个向量路径都可以通过这种方式进行近似。

我的问题的详细描述

我正在寻找通过圆（弧）近似部分（或全部）矢量路径（可以是正多边形、部分或不规则多边形部分）的方法。但是，首先让我们关注正则多边形。

在图片中，我画了这个问题的不同案例。 注意：每个多边形都是由向量构建的（如第 5 点）。

1. 对全 x 边形的逼近。
2. 一侧不同的部分 x-gon 的近似值
3. x-gon 的近似值，其中两条边不同但彼此相等
4. x-gon 的近似值，其中两条边不同（甚至彼此不相等）不相等
5. 所有边相等的部分 x-gom 的近似值

这不是故事的结局……有几个标准：

• 圆的起点/终点必须在向量路径的起点/终点。
• 我需要知道圆圈的中点。

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我找到的解决方案（好的和坏的）：

1) 和 5) - 我的简单解决方案

这是最简单的情况。我可以计算共享一个观点的每一侧之间的半径。如果它们具有相同的长度并且每个之间的角度相等，我可以计算圆的中点（作为属于垂直中线的点，每边一条中线）并且我有我需要的一切：起点，终点，中点观点。

但此解决方案仅适用于案例 1 和 5。

当我有案例 2、3、4 或不规则多边形的部分时，我真的不知道该怎么办

Answer 1

1. 您可以获得任意 2 条线段的曲率半径中心

   

   1. 找到线的中点
   2. 从每个（红线）投射垂直线
   3. 找到交点（它是曲率的中心）

   在3D中使用对象的平面（3 行而不是 2）。半径只是中心和线连接点（蓝线）之间的距离。如果半径太大，则将两条线作为单线处理（没有交叉点或交叉点太远）

2. 计算 #1 中的所有段

3. 如果连接，则将具有相同半径和中心的弧连接到单个弧

4. 处理不断变化的曲率

   如果圆弧正在改变中心或半径，请像这张图片一样

   

   第一段没有上一行，所以使用下一行代替，这会导致开始弧处不规则......

这应该涵盖所有情况，希望我的手绘图有意义......

Answer 2

如果您的圆弧必须在给定的端点上开始和结束，那么中心点将位于中间线上的某个位置，并且仍然有一个自由度。

因此，您可以使用最小二乘法来找到最佳拟合：假设您知道半径，它为您提供中心，并计算剩余顶点到圆周的距离平方和（到中心的距离减去半径）。最合适的是最小化该总和的那个。让我们希望有一个分析解决方案。