假设我有一个以 (-) 无穷大为界的一个（或两个）末端的积分。AFAICT，我无法分析解决这个问题，它需要蛮力（例如使用左黎曼和）。我无法概括该算法，以便它设置适当的细分；我要么做太多的工作来计算一些微不足道的东西，要么做得不够，并且有巨大的混叠错误。
用任何语言回答都很酷，但也许有更好的 google-fu 的人可以很快结束这个。:)
我正在寻找的东西和试图测量英国海岸线一样不可能吗？
问问题
1715 次
3 回答
1
有几种方法可以继续，其中大多数涉及尝试了解被积函数的行为。通常，有一个转换 x -> z(x) 具有有限的 z(infinity)，因此您可以将无界积分转换为有界积分。
此外，通常情况下，您可以分析被积函数在 x 变为 + 和 - 无穷大时的“渐近”行为，因此您至少可以大致计算出 x>x+ 和 x< x- 的贡献，然后只需在 x- 和 x+ 之间做定积分。
有很多关于数值积分的好书。在物理科学中经常使用的一种是数字食谱。（虽然你应该很少直接使用代码！）
于 2010-04-23T20:08:05.470 回答
0
使用变量的变化。例如，x -> 1/x 并注意 f(x) dx 从 a 到 b 的积分等于 (1/x^2)f(1/x) 从 1/b 到 1/a 的积分) dx。另一个方便的是变量 x -> -log(x) 的变化，其中 f(x) dx 从 a 到无穷大的积分等于 f(-log( x))/x dx。
各种开源软件包都包含执行此类操作的例程。其他人将不得不推荐一个，因为当数学函数的开源不存在时，我编写了自己的。
C 书中的数字食谱可在线获得http://www.nrbook.com/a/bookcpdf.php 您也许可以从中拼凑出一些东西。您感兴趣的章节是第 4 章。请注意，数组索引是基于 1 而不是 0。一些算法可以改进，但我不会在这里讨论。
于 2010-04-23T20:06:51.620 回答
-1
如果您正在寻找一个详尽的解决方案，您可能需要某种符号数学包。原因：
- 如果您确实在寻找不定积分的解决方案（根本没有边界，而不仅仅是有限的），那么除了做查找表或符号算法的数字等效项（比如知道x^n dx 的积分是 x^(n+1) / (n+1)，加上一个不依赖于 x 的任意表达式。
- 您可以在定积分上进行数值积分。如果一个或两个限制是 +/- 无穷大，那么你可能可以用“足够无穷大”的有限数字来近似这个，但话又说回来，这也只能让你走这么远，因为像积分这样的东西呢？ 1/x 从 1 到无穷大？答案是无穷大，但它与 ln(x) 不同。没有任何价值“足够无限”可以给你答案。这导致了一个象征性的解决方案。
于 2010-04-23T19:56:30.230 回答