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我写了一小段 Haskell 来弄清楚 GHC 如何证明对于自然数，你只能将偶数减半：

{-# LANGUAGE DataKinds, GADTs, KindSignatures, TypeFamilies #-}
module Nat where

data Nat = Z | S Nat

data Parity = Even | Odd

type family Flip (x :: Parity) :: Parity where
  Flip Even = Odd
  Flip Odd  = Even

data ParNat :: Parity -> * where
  PZ :: ParNat Even
  PS :: (x ~ Flip y, y ~ Flip x) => ParNat x -> ParNat (Flip x)

halve :: ParNat Even -> Nat
halve PZ     = Z
halve (PS a) = helper a
  where helper :: ParNat Odd -> Nat
        helper (PS b) = S (halve b)

核心的相关部分变为：

Nat.$WPZ :: Nat.ParNat 'Nat.Even
Nat.$WPZ = Nat.PZ @ 'Nat.Even @~ <'Nat.Even>_N

Nat.$WPS
  :: forall (x_apH :: Nat.Parity) (y_apI :: Nat.Parity).
     (x_apH ~ Nat.Flip y_apI, y_apI ~ Nat.Flip x_apH) =>
     Nat.ParNat x_apH -> Nat.ParNat (Nat.Flip x_apH)
Nat.$WPS =
  \ (@ (x_apH :: Nat.Parity))
    (@ (y_apI :: Nat.Parity))
    (dt_aqR :: x_apH ~ Nat.Flip y_apI)
    (dt_aqS :: y_apI ~ Nat.Flip x_apH)
    (dt_aqT :: Nat.ParNat x_apH) ->
    case dt_aqR of _ { GHC.Types.Eq# dt_aqU ->
    case dt_aqS of _ { GHC.Types.Eq# dt_aqV ->
    Nat.PS
      @ (Nat.Flip x_apH)
      @ x_apH
      @ y_apI
      @~ <Nat.Flip x_apH>_N
      @~ dt_aqU
      @~ dt_aqV
      dt_aqT
    }
    }

Rec {
Nat.halve :: Nat.ParNat 'Nat.Even -> Nat.Nat
Nat.halve =
  \ (ds_dJB :: Nat.ParNat 'Nat.Even) ->
    case ds_dJB of _ {
      Nat.PZ dt_dKD -> Nat.Z;
      Nat.PS @ x_aIX @ y_aIY dt_dK6 dt1_dK7 dt2_dK8 a_apK ->
        case a_apK
             `cast` ((Nat.ParNat
                        (dt1_dK7
                         ; (Nat.Flip (dt2_dK8 ; Sym dt_dK6))_N
                         ; Nat.TFCo:R:Flip[0]))_R
                     :: Nat.ParNat x_aIX ~# Nat.ParNat 'Nat.Odd)
        of _
        { Nat.PS @ x1_aJ4 @ y1_aJ5 dt3_dKa dt4_dKb dt5_dKc b_apM ->
        Nat.S
          (Nat.halve
             (b_apM
              `cast` ((Nat.ParNat
                         (dt4_dKb
                          ; (Nat.Flip
                               (dt5_dKc
                                ; Sym dt3_dKa
                                ; Sym Nat.TFCo:R:Flip[0]
                                ; (Nat.Flip (dt_dK6 ; Sym dt2_dK8))_N
                                ; Sym dt1_dK7))_N
                          ; Sym dt_dK6))_R
                      :: Nat.ParNat x1_aJ4 ~# Nat.ParNat 'Nat.Even)))
        }
    }
end Rec }

我知道通过 Flip 类型系列的实例转换类型的一般流程，但有些事情我不能完全遵循：

  • 是什么意思@~ <Nat.Flip x_apH>_N？是 x 的 Flip 实例吗？这与 有何不同@ (Nat.Flip x_apH)？我既感兴趣< >又_N

关于第一个演员halve：

  • 做什么dt_dK6，代表什么？我知道它们是某种等价证明，但哪个是哪个？dt1_dK7dt2_dK8
  • 我知道这会Sym向后运行等价
  • 是做什么的;？等价证明只是按顺序应用吗？
  • 这些_N和_R后缀是什么？
  • 是TFCo:R:Flip[0]和TFCo:R:Flip[1]翻转的实例？
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1 回答 1

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@~是强制应用。

尖括号表示其包含类型的反身强制，其作用由下划线字母给出。

因此，这是一个名义上等于<Nat.Flip x_ap0H>_N的相等证明（作为相等类型而不仅仅是相等表示）。Nat.Flip x_apHNat.Flip x_apH

PS有很多争论。我们看一下智能构造函数$WPS，我们可以看到前两个分别是 x 和 y 的类型。我们有证明构造函数参数是Flip x（在这种情况下我们有Flip x ~ Even。然后我们有证明x ~ Flip y和y ~ Flip x。最后一个参数是一个值ParNat x。

我现在将介绍第一个类型Nat.ParNat x_aIX ~# Nat.ParNat 'Nat.Odd

我们从(Nat.ParNat ...)_R. 这是一个类型构造器应用程序。它解除了x_aIX ~# 'Nat.Oddto的证明Nat.ParNat x_aIX ~# Nat.ParNat 'Nat.Odd。这R意味着它在表示上执行此操作意味着类型是同构的但不相同（在这种情况下它们是相同的，但我们不需要这些知识来执行转换）。

现在我们来看证明的主体(dt1_dK7 ; (Nat.Flip (dt2_dK8 ; Sym dt_dK6))_N; Nat.TFCo:R:Flip[0])。;表示传递性，即按顺序应用这些证明。

dt1_dK7是 的证明x_aIX ~# Nat.Flip y_aIY。

如果我们看(dt2_dK8 ; Sym dt_dK6). dt2_dK8显示y_aIY ~# Nat.Flip x_aIX。dt_dK6是类型 'Nat.Even ~# Nat.Flip x_aIX。所以Sym dt_dK6是类型Nat.Flip x_aIX ~# 'Nat.Even和(dt2_dK8 ; Sym dt_dK6)是类型y_aIY ~# 'Nat.Even

因此(Nat.Flip (dt2_dK8 ; Sym dt_dK6))_N是一个证明Nat.Flip y_aIY ~# Nat.Flip 'Nat.Even。

Nat.TFCo:R:Flip[0]是翻转的第一条规则，即 Nat.Flip 'Nat.Even ~# 'Nat.Odd'.

把这些放在一起，我们得到(dt1_dK7 ; (Nat.Flip (dt2_dK8 ; Sym dt_dK6))_N; Nat.TFCo:R:Flip[0])了 type x_aIX #~ 'Nat.Odd。

第二个更复杂的演员阵容有点难以解决，但应该按照相同的原则工作。

于 2015-08-16T11:32:22.820 回答