algorithm - 计算不准确的三角形顶点位置对三角形边长的潜在影响

Question

我不确定如何解决以下问题：

我有一个三角形，三个已知顶点位置 A、B、C 中的每一个都不准确，这意味着它们每个都可以偏离到某个已知的半径 rA、rB、rC 到任意方向。

给定这样的三角形，我想计算在最坏的情况下三角形的两个特定边长的差异（例如边 a 和边 b 的长度之间的差异）可能会改变多少。这个问题有什么优雅的数学解决方案吗？

我想到的天真的方法是计算所有 360^3 角度组合并测量每种情况的边缘差异，这是一个相当高的开销。

Answer 1

下图说明了解决方案：

MinMaxEdgeDiff.png http://www.freeimagehosting.net/uploads/b0f0f84635.png

需要注意的几点：

1. 线段 AC1 和 BC1 表示 |BC| 的最大可能值 - |AC|，而线 AC2 和 BC2 表示可能的最小值。在 C1 处，圆的切线必须平分 AC1 和 BC1 所成的角；C2 也一样。
2. AC1（当通过虚线延伸时）和 AC2 都经过 A。同样，BC1 和 BC2 也经过 B。任何偏离中心的情况，线将最长或最短。

3. 最大和最小的区别是：

   d1 = |BC1| - |AC1| = (|B->C1| + _rB_) - (|A->C1| - _rA_)
                      = |B->C1| - |A->C1| + (_rA_ + _rB_)
   
   d2 = |BC2| - |AC2| = (|B->C2| - _rB_) - (|A->C2| + _rA_)
                      = |B->C2| - |A->C2| - (_rA_ + _rB_)
   

   因此，最大和最小差异之间的变化是：

   d1 - d2 = (|B->C1| - |A->C1|) - (|B->C2| - |A->C2|) + 2*(_rA_ + _rB_)
   

最后一点暗示可以通过从中心 A 和 B 求解，然后添加半径rA和rB来找到解决方案。因此，C1 和 C2 的位置可以通过仅改变围绕 C 的边界圆的一个角度来迭代地发现（并且分别地，因为它们彼此独立）。

我怀疑有一个分析解决方案。这是一个有趣的问题，但不足以让我对这个特定的任务大发雷霆。对不起。;-)