我希望使用线性规划来解决以下逻辑描述。在下面的示例中，n1, n2, n3, b1, b2, b3是布尔变量。
目标是最小化c1。
以下是约束：
约束1： (（n1==n2 xor n3） && c1==2 && b1 ) || ( (n1== n2 or n3) && c1==1 && b2 ) || (( n1 == n2 and n3) 1&& c1==3 && b3)
约束2：n1 && n2== not n3
约束 3：only one of b1, b2, b3 is true
我可以知道是否可以将这些逻辑约束编码为 Gurobi 或 lpsolve 等线性编程工具所需的整数约束？或者有没有可以利用布尔约束的工具？
谢谢。
混合整数规划（不是线性规划）是可能的，但很混乱。让我们从简单的开始：
约束 2：
n1 + n2 = 1 - n3
约束 3：
b1 + b2 + b3 = 1 (if at most one of them is true then change = to <=)
约束 1：
约定：我y用来表示布尔变量并z表示连续的非负变量。&&我还假设and 和ANDand 之间没有区别||and OR。
诀窍是将其分解为多个部分并将每个部分定义为一个单独的变量。
y1 := n1==n2 --> (（y1 xor n3） && c1==2 && b1 ) || ( (y1 or n3) && c1==1 && b2 ) || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)
y1 >= 1 - (n1 + n2)
y1 >= (n1 + n2) - 1
y1 <= 2 - 2n1 + n2
y1 <= 2 - 2n2 + n1
y2 := y1 xor n3 --> (y2 && c1==2 && b1 ) || ( (y1 or n3) && c1==1 && b2 ) || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)
y2 <= y1 + x3
y2 >= y1 - x3
y2 >= x3 - y1
y2 <= 2 - y1 - x3
y5 := c1==2 --> (y2 && y5 && b1 ) || ( (y1 or n3) && c1==1 && b2 ) || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)
让epsilon > 0是一个预定义的容差（因此如果2 - epsilon <= c1 <= 2 + epsilonthen c1=2）和M一个大数字（可能是 的上限c1）：
z3 >= c1 - 2 + epsilon*y3; z3 >= 0
z4 >= 2 - c1 + epsilon*y4; z4 >= 0
z3 <= My3
z4 <= My4
y3 + y4 + y5 = 1
y6 := y2 && y5 && b1 --> y6 || ( (y1 or n3) && c1==1 && b2 ) || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)
y6 <= y2
y6 <= y5
y6 <= b1
y6 >= y2 + y5 + b1 - 2
y7 := y1 or n3 --> y6 || ( y7 && c1==1 && b2 ) || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)
y7 >= y1
y7 >= n3
y7 <= y1 + n3
y10 := c1 == 1 --> y6 || ( y7 && y10 && b2 ) || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)
z8 >= c1 - 1 + epsilon*y8; z8 >= 0
z9 >= 1 - c1 + epsilon*y9; z9 >= 0
z8 <= My8
z9 <= My9
y8 + y9 + y10 = 1
y11 := y7 && y10 && b2 --> y6 || y11 || (( y1 and n3) 1&& c1==3 && b3)
y11 <= y7
y11 <= y10
y11 <= b2
y11 >= y7 + y10 + b2 - 2
假设1&&是一个错字，它实际上是&&，
y12 := ( y1 and n3) --> y6 || y11 || (y12 && c1==3 && b3)
y12 <= y1
y12 <= n3
y12 >= y1 + n3 - 1
y15 := c1==3 --> y6 || y11 || (y12 && y15 && b3)
z13 >= c1 - 3 + epsilon*y13; z13 >= 0
z14 >= 3 - c1 + epsilon*y14; z14 >= 0
z13 <= My13
z14 <= My14
y13 + y14 + y15 = 1
y16 := y12 && y15 && b3 --> y6 || y11 || y16
y16 <= y12
y16 <= y15
y16 <= b3
y16 >= y12 + y15 + b3 - 2
最后，y6 || y11 || y16
y6 + y11 + y16 >= 1
我希望这有帮助。为方便起见，我在下面包含了完整的数学模型。
数学模型
min c1
s.t. n1 + n2 = 1 - n3
b1 + b2 + b3 = 1
y1 >= 1 - (n1 + n2)
y1 >= (n1 + n2) - 1
y1 <= 2 - 2n1 + n2
y1 <= 2 - 2n2 + n1
y2 <= y1 + x3
y2 >= y1 - x3
y2 >= x3 - y1
y2 <= 2 - y1 - x3
z3 >= c1 - 2 + epsilon*y3; z3 >= 0
z4 >= 2 - c1 + epsilon*y4; z4 >= 0
z3 <= My3
z4 <= My4
y3 + y4 + y5 = 1
y6 <= y2
y6 <= y5
y6 <= b1
y6 >= y2 + y5 + b1 - 2
y7 >= y1
y7 >= n3
y7 <= y1 + n3
z8 >= c1 - 1 + epsilon*y8; z8 >= 0
z9 >= 1 - c1 + epsilon*y9; z9 >= 0
z8 <= My8
z9 <= My9
y8 + y9 + y10 = 1
y11 <= y7
y11 <= y10
y11 <= b2
y11 >= y7 + y10 + b2 - 2
y12 <= y1
y12 <= n3
y12 >= y1 + n3 - 1
z13 >= c1 - 3 + epsilon*y13; z13 >= 0
z14 >= 3 - c1 + epsilon*y14; z14 >= 0
z13 <= My13
z14 <= My14
y13 + y14 + y15 = 1
y16 >= y12
y16 >= y15
y16 >= b3
y16 >= y12 + y15 + b3 - 2
y6 + y11 + y16 >= 1
y1, ..., y16, b1, b2, b3, n1, n2, n3 binary
z3, z4, z8, z9, z13, z14 >= 0
顺便说一句，如果您两者都可以访问lpsolve并且Gurobi肯定选择Gurobi. 它是市场领导者，其lpsolve性能与大多数复杂的问题相去甚远。
更新
将此模型放入求解器后，我得到了解决方案c1 = 1并
n1 = 1
n2 = 1
n3 = 1
b1 = 0
b2 = 1
b3 = 0
这是有道理的：c1 == 1或c2 == 2或c3 == 3对于第 3 条成立，情况c1=1是最小的可能。插入其他变量的值，我们可以看到所有三个约束都得到满足。
您的问题似乎具有非常有限的结构，因此解决方案应该容易得多。显然 c1 必须是 1、2 或 3。
约束 3 很简单，因为 b1、b2 和 b3 中的每一个都只使用一次：
约束 2 意味着可以从 n1 和 n2 计算出 n3：n3 = not (n1 and n2)，所以您需要做的就是尝试 n1 和 n2 的四种组合，计算每种组合的 n3，并检查这些条件。不需要线性规划或整数规划。
我认为您可以通过在GECODE或Choco等约束编程系统中表达它来解决它。查看它们 - 有很多示例可以帮助您入门。