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如何将 state monadS -> (A, S)与 costate comonad结合起来(E->A, E)？

我尝试了两种明显的组合S -> ((E->A, E), S)，(E->S->(A, S), E)但是在任何一种情况下，我都不知道如何为组合定义操作（return, extract, ... 等等）。

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结合两个 monadO并I产生一个 monad，如果其中一个O或I是共指的，即有一个extract方法。每个comonad是copointed。如果两者O和 I` 是共指的，那么你有两种不同的“自然”方式来获得一个可能不等价的单子。

你有：

unit_O :: a -> O a
join_O :: O (O a) -> O a
unit_I :: a -> I a
join_I :: I (I a) -> I a

为了清楚起见，我在这里添加了_O后缀_I；在实际的 Haskell 代码中，它们不会存在，因为类型检查器会自行计算出来。

你的目标是证明这O (I O (I a)))是一个单子。让我们假设它O是共指的，即有一个函数extract_O :: O a -> a。

然后我们有：

unit :: a -> O (I a)
unit = unit_O . unit_I
join :: O (I (O (I a))) -> O (I a)

当然，问题在于实施join. 我们遵循以下策略：

  • fmap在外面O
  • 用来extract_O搭便车O
  • 用于join_I结合两个Imonad

这导致我们

join = fmap_O $ join_I . fmap_I extract

为了使这项工作，您还需要定义

newtype MCompose O I a = MCompose O (I a)

并将各自的类型构造函数和解构函数添加到上面的定义中。

另一种替代方法是使用extract_I而不是extract_O. 这个版本更简单：

join = join_O . fmap_O extract_I

这定义了一个新的 monad。我假设您可以以相同的方式定义一个新的共单，但我没有尝试过。

于 2016-10-04T00:10:41.397 回答
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正如另一个答案所示，这两种组合都S -> ((E->A, E), S)同时(E->S->(A, S), E) 具有 Monad 和 Comonad 实例。事实上，给一个 Monad/Comonad 实例相当于给一个 monoid 结构。它的点∀rr->f(r) 或它的共点∀rf (r)->r，至少在经典的、非建设性的意义上（我不知道建设性的答案）。这一事实表明，实际上 Functor f 很有可能既可以是 Monad 又可以是 Comonad，只要它的点和共点是非平凡的。

然而，真正的问题是这样构造的 Monad/Comonad 实例是否具有自然的计算/分类意义。在这种特殊情况下，我会说“不”，因为您似乎没有 关于如何以适合您的计算需求的方式组合它们的先验知识。

组成两个（共）单子的标准分类方法是通过附加词。让我总结一下你的情况：

      Fₑ         Fₛ
      -->       -->
Hask  ⊣   Hask  ⊣ Hask
      <--       <--
      Gₑ         Gₛ

Fₜ(a) = (a,t)
Gₜ(a) = (t->a)

Fₜ ⊣ Gₜ 的证明：

Fₜ(x) -> y   ≃
(x,t) -> y   ≃
x  -> (t->y) ≃
x  -> Gₜ(y)

现在你可以看到状态单子 (s->(a,s)) ≃ (s->a,s->s) 是合成 GₛFₛ 而并列共子是 FₑGₑ。这个附加词说 Hask 可以解释为（共）态（共）代数的模型。

现在，“附加组成”。例如，

FₛFₑ(x) -> y ≃
Fₑ(x)   -> Gₛ(y) ≃
x       -> GₑGₛ(y)

所以 FₛFₑ ⊣ GₑGₛ。这给出了一对monad和comonad，即

T(a) = GₑGₛFₛFₑ(a)
     = GₑGₛFₛ(a,e)
     = GₑGₛ(a,e,s)
     = Gₑ(s->(a,e,s))
     = e->s->(a,e,s)
     = ((e,s)->a, (e,s)->(e,s))

G(a) = FₛFₑGₑGₛ(a)
     = FₛFₑGₑ(s->a)
     = FₛFₑ(e->s->a)
     = Fₛ(e->s->a,e)
     = (e->s->a,e,s)
     = ((e,s)->a, (e,s))

T 只是带有状态 (e,s) 的状态单子，G 是带有并列 (e,s) 的并列共单子，所以这些确实具有非常自然的含义。

组成附加语是一种自然的、频繁的数学运算。例如， topoi（一种允许在“类型级别”上进行复杂（非自由）构造的笛卡尔封闭类别）之间的几何态射被定义为一对附属物，只要求其左附属物保持精确（即保留有限的限制）。如果这些topoi 是拓扑空间上的滑轮，那么组成附属词只对应于组成（唯一的）连续碱基变化图（在相反方向上），具有非常自然的意义。

另一方面，直接组合单子/comonads 似乎是数学中非常罕见的实践。这是因为（共）单子通常被认为是（共）代数理论的载体，而不是模型。在这种解释中，相应的附加词是模型，而不是单子。问题是组合两个理论需要另一个理论，一个关于如何组合它们的理论。例如，想象组成两个幺半群理论。然后你可能会得到至少两个新的理论，即列表的列表理论，或两种二元运算分布的环状代数。也不是先验的比其他更好/更自然。这就是“monads don't compose”的意思；它并不是说组合不能是单子，但它确实说你需要另一种理论来组合它们。

相反，组合附加语自然会导致另一个附加语，因为这样做是在隐含地指定组合两个给定理论的规则。因此，通过采用组合附加词的单子，您可以获得同时指定组合规则的理论。

于 2017-01-02T14:56:00.827 回答