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我偶然发现了这个问题：

7 7 的幂是 823543。7 的哪个更高的幂以 823543 结尾？

我应该怎么做？我想出的那个非常慢，它不断乘以 7 并检查结果的最后 6 位是否匹配。

我尝试了 Lou 的代码：

int x=1;
    for (int i=3;i<=100000000;i=i+4){
            x=(x*7)%1000000;
            System.out.println("i="+ i+" x= "+x);
            if (x==823543){
                System.out.println("Ans "+i);}
            }

CPU 听起来像一个压力锅，但无法得到答案:(

4

6 回答 6

8

乘以 10^6。请参阅此Lua 代码。

local x=1
for i=1,100000 do
        x=(x*7) % 1e6
        if x==823543 then print(i) end
end
于 2010-03-11T10:43:38.473 回答
8

您可以使用欧拉对费马小定理的推广，该定理适用于您的情况，即对于不能被 2 或 5 整除的任何数字a ， a的 400000 次方等于 1 模 10^6。这意味着 7^400000 等于 1，7^400007 等于 823543 模 10^6

可能有 7 的较小幂也等于 1 模 10^6。任何这样的幂都应该是 400000 的除数。因此，如果您搜索 400000 的所有除数，您应该会找到答案。

于 2010-03-11T11:23:49.597 回答
4

Python中的蛮力解决方案：

def check():
    i = 8
    while True:
        if str(7**i)[-6:] == "823543":
            print i, 7**i
            break
        i += 1

if __name__ == "__main__":
  check()

在我的机器上运行 10 秒多一点：

$ time python 7\*\*7.py 
5007 25461638709540284156782446957365168367138070393489656084508152816071765490828583739345420574947301301356529652113030016806506783009529977928336772622054260724106711204039012806363481521302203821096274017061906820115931889920385802499836705571461280700786627503189500663279772123190279763997339608040949194040289041117811256914511855302927500076094761237077649092849658261309060277197389760351907599243227298336309204635761799394324969277220810221310805265921431367291459357151617279190810954501590069774137519833706444943573459910208627100504003480684029216932299650285683013274883359754231186580602570771682084721896446416234857382909168309309630688331305154545352580787700878011742720440707156231891841057992434850068501355342227582074144717324718396296563918284728120322255330707786227631084119636101174217518654320128390401231343058708073280898554293777842571799775647325449392944570725467462072394864457569308219294304248413378339223195121800534783732295135735588409249690562213409520783181313960347723827308102920022860541043691808218543350580271593107019737918976365348051012746817678592727727988993175444584453532474156202438866838819565827414970029052602274354173178190323239427022953097424087683011937130778414189673555875258508014323428137406618951161046883845551087123412471364400737145434714864392224194773030522352601143771552489895838728148761974811275894561985163094852437703080985644653666048979901975905667811053289029958524703063742007291722490298429637413913574845245364780928447142275001431370017543206188428912106120676556219532197108435997375879569102044435752697298456147512203108094030745606163915437604076966518127099543894645297945324345093247636119593298654296614887389164509070158924404441687810434488061150620012547321097786493748417764592151734279632949607485719050349385098350202294648324398902047614892248381794929374952059877187100434970751833289677556040879755065563758085919673107576808662549999202791489324437408075089456174056904323973798979207791446889016369166632636035638123394649891606479407561222474471530411700646266636732205895085248823824764170316644547100628119484733814900100986786082211477261114056206393554335903410036064553032366200714266053598548735147707681592574886559888869327771461046450774938490837810526377213647071217152427693219479552580138352651791476758476864761332281826701978038126122728967682552206820425685782165630494478519812498630475776384700259524274670258777572341538755828794632819515842335609785884327007667337426644594091547392441314523035569100326662245947022517857248412004291423280879791576077952474202068318934524092750814844945529148131063116233331840380254781283689084385600858175504170157015630699919186013526052643206240745256569669847298952477441594748635701081031979500954081732722211598460098426985932512920424237248250698541558227081975966598720056015879151923686438360541128221854058867910136449528237543680180470919685862102358708465872395643586424250239281775923511452769821487580471289910257908740451431952197725174728917413539539795856895884961513784804247268727165303942024508367184898248006123651950710237279288601317817391869969699767431782664773248447758526620050588927086506013616563459173620496200348863132442180734592661348887012997849309740799709045762939781801481205704629203758859772476278892928066844445088880207986848424855774325574728566649552154520262460969975214802828263093097997124519153537792591659204109087699977445745067857471581656151077039286563447099850537157044829081400190710358959493358343935904669416958301921942118288210835104022359479660409954097409669785908666166908117346073702337825511531650740900904200220658196171839969860945908503151878488455004283026700303698398069644419655035582904253655945381261383285097911378914794161551292914993411444083214513058414480129560671193659591364146612550890288116403596333209446976453193340267725222134755872075133141618388704912211996423838163706006930973361661094103734887312836613195349528793780496172839376426055357343094188450140671138356505144988151110902047791487250988374130384058324229250761311655685931891857894126054047458969174494155762486464149775147410127618088224310828566286409277000561087588768230619606746804073498788244935099280434916850444895829823543

real    0m10.779s
user    0m10.709s
sys 0m0.024s
于 2010-03-11T11:30:06.810 回答
2

费马的小定理方法在数学上是一种合理的方法，只是反复乘以 7 mod 10^6 是最简单的代码，但是您可以采用另一种计算效率高的方法（但需要更复杂的代码）。首先，请注意，当乘以 7 时，最后一位仅取决于之前的最后一位（即我们所做的一切都是 mod 10）。我们反复乘以 7 得到

7  (4)9  (6)3  (2)1 (0)7 ...

好的，太好了，所以如果我们想要一个 3，我们从 7^3 开始，然后每 7^4 上升一次。现在，我们注意到，当乘以 7^4 时，最后两位数字仅取决于 7^4 的最后两位数字和上一个答案的最后两位数字。7^4 是 2401。所以事实上，当上升 7^4 时，最后两位数总是相同的。

最后三个呢？嗯，7^3 = 343 和 7^4 以 401 结尾，所以我们得到 mod 1000

343 543 743 943 143 343

我们在第 2 列 (543) 中得到了前三位数字，我们看到该序列重复了 5 次，所以我们应该从那里上升 7^20。

我们可以一遍又一遍地玩这个把戏：找出下一个数字块重复的频率，在该块中找到正确的子序列，然后乘以 7^n 而不是 7。

我们真正要做的是在第 m 个数字上找到一个（乘法）环，然后将所有环的大小相乘以获得具有相同 N 位的连续幂之间的跨度，如果我们遵循这种方法。这里有一些 Scala 代码（2.8.0 Beta1）就是这样做的：

def powRing(bigmod: BigInt, checkmod: BigInt, mul: BigInt) = {
  val powers = Stream.iterate(1:BigInt)(i => (i*mul)%bigmod)
  powers.take( 2+powers.tail.indexWhere(_ % checkmod == 1) ).toList
}
def ringSeq(digits: Int, mod: BigInt, mul: BigInt): List[(BigInt,List[BigInt])] = {
  if (digits<=1) List( (10:BigInt , powRing(mod,10,mul)) )
  else {
    val prevSeq = ringSeq(digits-1, mod, mul)
    val prevRing = prevSeq.head
    val nextRing = powRing(mod,prevRing._1*10,prevRing._2.last)
    (prevRing._1*10 , nextRing) :: prevSeq
  }
}
def interval(digits: Int, mul: Int) = {
  val ring = ringSeq(digits, List.fill(digits)(10:BigInt).reduceLeft(_*_), mul)
  (1L /: ring)((p,r) => p * (r._2.length-1))
}

所以，如果我们找到了我们想要的数字的一种情况，我们现在可以通过找到合适的环的大小来找到所有的数字。在我们的例子中，使用 6 位数字（即 mod 10^6）和以 7 为底，我们发现重复大小为：

scala> interval(6,7)                                                           
res0: Long = 5000

所以，我们得到了答案！7^7 是第一个，7^5007 是第二个，7^10007 是第三个，等等。

由于这是通用的，我们可以尝试其他答案...11^11 = 285311670611（8 位数字）。我们来看看区间：

scala> interval(12,11)            
res1: Long = 50000000000

因此，这告诉我们 11^50000000007 是 11^11 之后的下一个数字，具有相同的 12 位初始集合。如果您好奇，请手动检查！

让我们也检查一下 3^3——小数扩展以 27 结尾的 3 的下一个幂是多少？

scala> interval(2,3)
res2: Long = 20

应该是 3^23。检查：

scala> List.fill(23)(3L).reduceLeft((l,r) => {println(l*r) ; l*r})
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
177147
531441
1594323
4782969
14348907
43046721
129140163
387420489
1162261467
3486784401
10460353203
31381059609
94143178827

是的！

（在编辑中切换代码以使用 BigInt，因此它可以处理任意数量的数字。但是，该代码不会检测退化情况，因此请确保使用素数作为幂....）

于 2010-03-11T20:22:22.680 回答
2

与其说是答案，不如说是提示：

观察到 7 的最右边数字的模式是 1,7,9,3,1,7,9,3,1,7,... 所以你只需要从 3 生成 7 的每 4 次方。进一步的研究可能会显示出最右边的两个（三个、四个、...）数字的模式，但我还没有为你研究过它们。

为一些非常大的数字做好准备，Mathematica报告说，寻找最右边数字的下一个 7 的幂是 5007。

我想这回答了你的问题 - 一种更快的方法是在 SO 上发布并等待有人告诉你答案！如果您不喜欢 SO 算法，您甚至可以尝试 Wolfram Alpha。

于 2010-03-11T10:55:02.483 回答
1

另一个提示：您只对最后 N 位感兴趣：您可以执行模 10^N 的计算并保持结果很好地适合整数

于 2010-03-11T11:11:34.767 回答