15

用表格计算初等函数的文献sin参考了以下公式：

sin(x) = sin(Cn) * cos(h) + cos(Cn) * sin(h)

其中x = Cn + h,Cn是一个常数，它sin(Cn)和cos(Cn)已经预先计算并且在表格中可用，并且，如果遵循 Gal 的方法，Cn已经选择使得两者sin(Cn)和cos(Cn)都由浮点数非常近似。数量h接近0.0。参考此公式的一个示例是这篇文章（第 7 页）。

我不明白为什么这是有道理的：cos(h)不管如何计算，对于 的某些值，它可能至少会出错 0.5 ULP h，并且由于它接近1.0，这似乎对结果的准确性产生了巨大影响sin(x)当以这种方式计算时。

我不明白为什么不使用下面的公式：

sin(x) = sin(Cn) + (sin(Cn) * (cos(h) - 1.0) + cos(Cn) * sin(h))

然后这两个量(cos(h) - 1.0)和sin(h)可以用多项式来近似，这些多项式很容易准确，因为它们产生接近零的结果。和的值仍然很小sin(Cn) * (cos(h) - 1.0)， cos(Cn) * sin(h)其绝对精度用和所代表的小数量的 ULP 表示，因此添加这个数量sin(Cn)几乎是正确的四舍五入。

我是否遗漏了一些使早期、流行、更简单的公式也表现良好的东西？作者是否理所当然地认为读者会理解第一个公式实际上是作为第二个公式实现的？

编辑：示例

用于计算单精度的单精度表sinf()，cosf()可能包含以下单精度点：

         f | cos f | 罪孽      
------------------------------------+------------------------+-- ------------------
0.017967 0x1.2660bcp-6 | 0x1.ffead8p-1 | 0x1.265caep-6
                       | （实际值：） | （实际价值：）
                       | ~0x1.ffead8000715dp-1 | ~0x1.265cae000e6f9p-6

以下函数是用于 around 的专用单精度函数0.017967：

float sinf_trad(float x)
{
  float h = x - 0x1.2660bcp-6f;

  return 0x1.265caep-6f * cos_0(h) + 0x1.ffead8p-1f * sin_0(h);
}

float sinf_new(float x)
{
  float h = x - 0x1.2660bcp-6f;

  return 0x1.265caep-6f + (0x1.265caep-6f * cosm1_0(h) + 0x1.ffead8p-1f * sin_0(h));
}

在 0.01f 和 0.025f 之间测试这些函数似乎表明新公式给出了更精确的结果：

$ gcc -std=c99 test.c && ./a.out
相对误差，传统：2.169624e-07，新：1.288049e-07
绝对误差平方和，传统：6.616202e-12，新：2.522784e-12

我采取了几个捷径，所以请查看完整的程序。

4

3 回答 3

6

下面的实现部分回答了这个问题，因为它是正弦的单精度实现，使用问题中建议的公式，在 [0 … 1.57] 上精确到 0.53 ULP，在 99.98% 的范围内精确到 0.5 ULP它在这个范围内的论点。

具体来说，我得到输出：

错误 285758762/536870912 ULP sin(2.11219326e-01) 参考：2.09652290e-01 新：2.09652275e-01
差异：176880 / 1070134723

这意味着错误永远不会超过 ULP 的 285/536（约 0.53 ULP），并且 176880 是在总共 1070134723 个参数中错误高于 0.5 ULP 的参数数量。

sin(Cn) * cos(h) + cos(Cn) * sin(h)使用简单的公式和仅单精度计算似乎不可能实现这种结果。问题中引用的文章暗示“c0*h以扩展精度评估的术语”以实现整体准确性。

#include <inttypes.h>
#include <stdint.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>

float c_cos_sin[][3] = {
  //  0x0.000000000p+0 /* 0.000000 */, 0x1.000000p+0, 0x0.000000p+0,
  //  0x0.00fb76590p+2 /* 0.015348 */, 0x1.fff090p-1, 0x1.f6e7a4p-7,
  //  0x0.01fd02f80p+2 /* 0.031068 */, 0x1.ffc0c0p-1, 0x1.fcee02p-6,
  //  0x0.0302f6280p+2 /* 0.047056 */, 0x1.ff6eeap-1, 0x1.8156aap-5,
  //  0x0.04029a400p+2 /* 0.062659 */, 0x1.fefec8p-1, 0x1.007b94p-4,
  //  0x0.0500a9d80p+2 /* 0.078165 */, 0x1.fe6fcap-1, 0x1.3fd706p-4,
  //  0x0.060215b80p+2 /* 0.093877 */, 0x1.fdbedcp-1, 0x1.7ff4e8p-4,
  //  0x0.070225580p+2 /* 0.109506 */, 0x1.fceee8p-1, 0x1.bfa3fcp-4,
  //  0x0.080460e00p+2 /* 0.125267 */, 0x1.fbfcf6p-1, 0x1.ffc0f6p-4,
  //  0x0.08fed4a00p+2 /* 0.140554 */, 0x1.faf372p-1, 0x1.1ee830p-3,
  //  0x0.0a0054100p+2 /* 0.156270 */, 0x1.f9c2d8p-1, 0x1.3ebd74p-3,
  //  0x0.0afc8eb00p+2 /* 0.171665 */, 0x1.f87978p-1, 0x1.5dd872p-3,
  0x0.0bff5db00p+2 /* 0.187461 */, 0x1.f707b0p-1, 0x1.7dad14p-3,
  0x0.0cfe70200p+2 /* 0.203030 */, 0x1.f57bcep-1, 0x1.9cf438p-3,
  0x0.0e024ef00p+2 /* 0.218891 */, 0x1.f3c87ap-1, 0x1.bcb7a0p-3,
  0x0.0efeab400p+2 /* 0.234294 */, 0x1.f202ecp-1, 0x1.db74a8p-3,
  0x0.10003da00p+2 /* 0.250015 */, 0x1.f014d0p-1, 0x1.fab664p-3,
  0x0.110242c00p+2 /* 0.265763 */, 0x1.ee0660p-1, 0x1.0cf2f4p-2,
  0x0.12055d400p+2 /* 0.281577 */, 0x1.ebd62ap-1, 0x1.1c8a4ap-2,
  0x0.13025de00p+2 /* 0.297019 */, 0x1.e994c2p-1, 0x1.2bb212p-2,
  0x0.13fc96600p+2 /* 0.312292 */, 0x1.e73c4ep-1, 0x1.3a9d34p-2,
  0x0.15014c400p+2 /* 0.328204 */, 0x1.e4abbcp-1, 0x1.4a1472p-2,
  0x0.15fe27a00p+2 /* 0.343637 */, 0x1.e210eep-1, 0x1.58fffep-2,
  0x0.1703b1200p+2 /* 0.359600 */, 0x1.df4050p-1, 0x1.685884p-2,
  0x0.180296e00p+2 /* 0.375158 */, 0x1.dc63e8p-1, 0x1.7736b2p-2,
  0x0.18fc8a600p+2 /* 0.390414 */, 0x1.d9790cp-1, 0x1.85b472p-2,
  0x0.19ffac000p+2 /* 0.406230 */, 0x1.d654fap-1, 0x1.94a1ecp-2,
  0x0.1aff07c00p+2 /* 0.421816 */, 0x1.d31f26p-1, 0x1.a33e6ap-2,
  0x0.1c0162800p+2 /* 0.437585 */, 0x1.cfc21ep-1, 0x1.b1ec42p-2,
  0x0.1cfe63200p+2 /* 0.453027 */, 0x1.cc5a50p-1, 0x1.c0317ep-2,
  0x0.1e0153a00p+2 /* 0.468831 */, 0x1.c8c0f4p-1, 0x1.ceb01ep-2,
  0x0.1efe6d800p+2 /* 0.484279 */, 0x1.c52024p-1, 0x1.dcbe7ep-2,
  0x0.1ffde5600p+2 /* 0.499872 */, 0x1.c15a92p-1, 0x1.ead0fcp-2,
  0x0.20fa9ac00p+2 /* 0.515296 */, 0x1.bd83eap-1, 0x1.f89e82p-2,
  0x0.220491000p+2 /* 0.531529 */, 0x1.b95c6cp-1, 0x1.038212p-1,
  0x0.22ff9c800p+2 /* 0.546851 */, 0x1.b55542p-1, 0x1.0a3d7ap-1,
  0x0.23faafc00p+2 /* 0.562176 */, 0x1.b133aep-1, 0x1.10e916p-1,
  0x0.250a2cc00p+2 /* 0.578746 */, 0x1.ac9ed2p-1, 0x1.180d0ep-1,
  0x0.25fee2800p+2 /* 0.593682 */, 0x1.a863d2p-1, 0x1.1e6bdep-1,
  0x0.2700b4000p+2 /* 0.609418 */, 0x1.a3d498p-1, 0x1.251056p-1,
  0x0.28025e000p+2 /* 0.625144 */, 0x1.9f2b7ap-1, 0x1.2ba13ap-1,
  0x0.28f975400p+2 /* 0.640226 */, 0x1.9a9aa0p-1, 0x1.31db54p-1,
  0x0.29fc6dc00p+2 /* 0.656032 */, 0x1.95b7ecp-1, 0x1.384ef4p-1,
  0x0.2afc27c00p+2 /* 0.671640 */, 0x1.90cb6cp-1, 0x1.3e9a4ap-1,
  0x0.2c0659c00p+2 /* 0.687888 */, 0x1.8b90c6p-1, 0x1.45127ap-1,
  0x0.2d017dc00p+2 /* 0.703216 */, 0x1.868952p-1, 0x1.4b18dep-1,
  0x0.2e04f3c00p+2 /* 0.719052 */, 0x1.813e8cp-1, 0x1.513d70p-1,
  0x0.2efcb8800p+2 /* 0.734175 */, 0x1.7c19bcp-1, 0x1.5706f0p-1,
  0x0.300642800p+2 /* 0.750382 */, 0x1.767dc8p-1, 0x1.5d2464p-1,
  0x0.30ff5cc00p+2 /* 0.765586 */, 0x1.7123d0p-1, 0x1.62cb9cp-1,
  0x0.3204f6c00p+2 /* 0.781553 */, 0x1.6b6d98p-1, 0x1.68a4d6p-1,
  0x0.3303af000p+2 /* 0.797100 */, 0x1.65c70cp-1, 0x1.6e4010p-1,
  0x0.34002f400p+2 /* 0.812511 */, 0x1.601740p-1, 0x1.73b86cp-1,
  0x0.35080ac00p+2 /* 0.828616 */, 0x1.5a0f1cp-1, 0x1.79579cp-1,
  0x0.35fda7800p+2 /* 0.843607 */, 0x1.545d16p-1, 0x1.7e7cc6p-1,
  0x0.37040f800p+2 /* 0.859623 */, 0x1.4e31bep-1, 0x1.83e3aep-1,
  0x0.3800eac00p+2 /* 0.875056 */, 0x1.482b1cp-1, 0x1.89002ap-1,
  0x0.390737c00p+2 /* 0.891066 */, 0x1.41d5b8p-1, 0x1.8e3432p-1,
  0x0.39fce7800p+2 /* 0.906061 */, 0x1.3bd3dep-1, 0x1.92fc2ap-1,
  0x0.3b0596c00p+2 /* 0.922216 */, 0x1.3546c4p-1, 0x1.9808d0p-1,
  0x0.3bf971c00p+2 /* 0.937100 */, 0x1.2f2b58p-1, 0x1.9c979ep-1,
  0x0.3d0275800p+2 /* 0.953275 */, 0x1.2874c8p-1, 0x1.a17120p-1,
  0x0.3e02c4400p+2 /* 0.968919 */, 0x1.21e3cap-1, 0x1.a60740p-1,
  0x0.3ef759000p+2 /* 0.983847 */, 0x1.1b8ec4p-1, 0x1.aa4f02p-1,
  0x0.3ff90a800p+2 /* 0.999575 */, 0x1.14d158p-1, 0x1.aeb732p-1,
  0x0.40f703800p+2 /* 1.015077 */, 0x1.0e1baep-1, 0x1.b2f468p-1,
  0x0.420693000p+2 /* 1.031651 */, 0x1.06dcb2p-1, 0x1.b75f2ap-1,
  0x0.4300fb800p+2 /* 1.046935 */, 0x1.001dcep-1, 0x1.bb5678p-1,
  0x0.440282800p+2 /* 1.062653 */, 0x1.f23bb2p-2, 0x1.bf4efcp-1,
  0x0.44fb18000p+2 /* 1.077826 */, 0x1.e49a58p-2, 0x1.c3095ep-1,
  0x0.45fe26000p+2 /* 1.093637 */, 0x1.d647a4p-2, 0x1.c6cfaap-1,
  0x0.4700de800p+2 /* 1.109428 */, 0x1.c7dba0p-2, 0x1.ca77aap-1,
  0x0.47fd2d800p+2 /* 1.124828 */, 0x1.b9af14p-2, 0x1.cdec48p-1,
  0x0.48fd3c000p+2 /* 1.140456 */, 0x1.ab3138p-2, 0x1.d1515ep-1,
  0x0.49f66d000p+2 /* 1.155666 */, 0x1.9cfd2cp-2, 0x1.d48338p-1,
  0x0.4b05ec000p+2 /* 1.172236 */, 0x1.8d67dcp-2, 0x1.d7deb0p-1,
  0x0.4bfebf800p+2 /* 1.187424 */, 0x1.7f0718p-2, 0x1.dad544p-1,
  0x0.4cfa07800p+2 /* 1.202761 */, 0x1.706b10p-2, 0x1.ddb6e0p-1,
  0x0.4e0324800p+2 /* 1.218942 */, 0x1.60e920p-2, 0x1.e0a1e6p-1,
  0x0.4efdb7800p+2 /* 1.234236 */, 0x1.522b24p-2, 0x1.e34658p-1,
  0x0.4ffb51000p+2 /* 1.249714 */, 0x1.432afap-2, 0x1.e5d57ep-1,
  0x0.50fb6d000p+2 /* 1.265346 */, 0x1.33f0b2p-2, 0x1.e84ce2p-1,
  0x0.5200bc000p+2 /* 1.281295 */, 0x1.24536ep-2, 0x1.eab19cp-1,
  0x0.52fbc0800p+2 /* 1.296616 */, 0x1.1541a6p-2, 0x1.ece01ep-1,
  0x0.54066d800p+2 /* 1.312892 */, 0x1.052cfep-2, 0x1.ef1104p-1,
  0x0.550424000p+2 /* 1.328378 */, 0x1.eb9ff8p-3, 0x1.f1077cp-1,
  0x0.55f93c800p+2 /* 1.343337 */, 0x1.cdd470p-3, 0x1.f2cfeap-1,
  0x0.56fa9d000p+2 /* 1.359046 */, 0x1.ae6e42p-3, 0x1.f49074p-1,
  0x0.57ff02000p+2 /* 1.374939 */, 0x1.8e8e2cp-3, 0x1.f63612p-1,
  0x0.58f813000p+2 /* 1.390141 */, 0x1.6ff8f0p-3, 0x1.f7aaf6p-1,
  0x0.5a0036800p+2 /* 1.406263 */, 0x1.4f722cp-3, 0x1.f915dcp-1,
  0x0.5b005b800p+2 /* 1.421897 */, 0x1.2fd214p-3, 0x1.fa55aep-1,
  0x0.5bfe01800p+2 /* 1.437378 */, 0x1.106e24p-3, 0x1.fb732ap-1,
  0x0.5cf89f000p+2 /* 1.452675 */, 0x1.e2b3c0p-4, 0x1.fc6ea8p-1,
  0x0.5e00f4800p+2 /* 1.468808 */, 0x1.a104e8p-4, 0x1.fd56eap-1,
  0x0.5f0527000p+2 /* 1.484689 */, 0x1.60420cp-4, 0x1.fe1a64p-1,
  0x0.5fffc8000p+2 /* 1.499987 */, 0x1.21cb4cp-4, 0x1.feb78ap-1,
  0x0.610318000p+2 /* 1.515814 */, 0x1.c23092p-5, 0x1.ff39eep-1,
  0x0.62032d800p+2 /* 1.531444 */, 0x1.424a9cp-5, 0x1.ff9a86p-1,
  0x0.62fd46000p+2 /* 1.546709 */, 0x1.8a9d8cp-6, 0x1.ffd9fap-1,
  0x0.63fbc1800p+2 /* 1.562241 */, 0x1.1856c2p-7, 0x1.fffb34p-1,
  0x0.65011f000p+2 /* 1.578193 */, -0x1.e4c59ap-8, 0x1.fffc6ap-1,
};

/*@ requires 0 <= x <= 1.6 ; */
float my_sinf(float x)
{
  const float offs = 0x0.0b8p+2f;
  if (x < offs)
    {
      float xx = x * x;
      /* Remez-optimized polynomial for relative accuracy on -0.164 .. 0.164,
         Not the full -0.18 .. 0.18 where it is used, which makes it worse
         on -0.164 .. 0.164. But even optimized without regard for 0.164 .. 0.18
         It is better than the table entry + correction there so we use it there
      */
      return x + x * xx * (-0.16666660487324f + xx * 8.3259065018069e-3f);
    }
  int i = (x - offs) * 64.0f;
  float *p = c_cos_sin[i];
  float F = p[0];
  float C = p[1];
  float S = p[2];
  float h = x - F;
#if 0
  float s = S * (cosl(h) - 1.0) + C * sinl(h); // ext-double computation
#endif
#if 1
  // Two Remez-optimized polynomials for absolute accuracy on -0.008 .. 0.008
  float s =  h * (C + h * (-0.4999976959797f * S + h * -0.166666183241f * C));
#endif
  return S + s; 
}

unsigned int m, c, t;
uint64_t max_ulp;

int main(){
  for (float f = 0.0f; f < 1.57f; f = nextafterf(f, 3.0f))
    {
      double rd = sin(f);
      float r = rd;
      float n = my_sinf(f);
      t++;
      if (r != n)
        {
          c++;
          uint64_t in, ir;
          double nd = n;
          memcpy(&in, &nd, 8);
          memcpy(&ir, &rd, 8);
          uint64_t ulp = in > ir ? in - ir : ir - in;
          if (ulp > max_ulp)
            printf("error %" PRIu64 "/536870912 ULP sin(%.8e) ref:%.8e new:%.8e \n", 
                   ulp, f, r, n);
          if (ulp > max_ulp)
              max_ulp = ulp;
        }
    }
  printf("differences: %u / %u\n", c, t);
}
于 2014-05-18T21:02:28.787 回答
4

好吧，这个公式是一个开始。然后可以根据上下文进行其他转换。我同意如果将公式sin(x) = sin(Cn) * cos(h) + cos(Cn) * sin(h)应用于目标精度，则舍入误差sin(Cn) * cos(h)高达结果的 1/2 ulp，如果目标是获得准确的结果，这是不好的。然而，某些术语有时通过使用伪扩展以更高的精度表示。例如，一个数可以用一对 ( a , b ) 表示，其中b远小于a，其值被视为a + b。在这种情况下，cos( h ) 可以表示为一对 (1, h') 并且计算将等同于您的建议。

或者，一旦给出了计算 cos( h ) 和 sin( h )的公式，就可以详细说明实现。请参阅您引用的 Stehlé 和 Zimmermann 论文中的第 3.1 节：他们定义 C * ( h ) = C( h ) − 1，并在最终公式中使用 C *，这基本上是您的建议。

注意：我确信使用上述公式是最佳选择。可以从 开始sin(x) = sin(Cn) + error_term，并以其他方式计算误差项。

于 2014-06-27T22:18:52.570 回答
-3

您正在满足理论数学和实际数值计算之间的界限。

三角恒等式

sin(a + b) = sin(a) * cos( b ) + cos(a) * sin(b)

产生你引用的公式：

sin(x) = sin(Cn) * cos(h) + cos(Cn) * sin(h)

当你用 Cn + h 代替 x 时。这个公式在数学上是精确的。

但是，由于实际数值计算的局限性，即在您的情况下是浮点运算，我们没有无限的精度来精确地数值计算这样的公式。在实践中，我们需要考虑我们可以用来表示表中的值的精度，以及当我们对这些有限精度值进行有限精度计算时会引入哪些误差。处理实际数值计算的数学学科是数值分析。

维基百科上有一个非常简短的数值分析摘要，其中包含许多指向该主题内各个主题的链接。我认为您可能会发现计算函数的值以及特别相关的插值、外推和回归。

于 2014-05-18T13:14:36.040 回答