假设我有两个名为的函数f :: a -> b，并且它是相反g :: b -> a的f . g ≡ id。
现在不是g . f ≡ id吗？（因此暗示同构）
我试图写一个类似的例子并想出了这个：
myRead :: String -> Int
myRead = read
myShow :: Int -> String
myShow = show
在 ghci 中：
λ> myRead . myShow $ 3
3
λ> myShow . myRead $ "33"
"33"
但似乎反函数并不意味着同构。那么有人可以指出我在这里做错了什么吗？
这是一个非常简单的例子。如果A是集合{1,2}和B集合{1}那么函数：
f :: A -> B
f = const 1
g :: B -> A
g 1 = 1
有关系f . g = id但没有关系g . f = id。一个反例是
g (f 2) = 1
事实证明，如果你有两个这样的函数，f . g = id那么g . f = id就说明了很多关于这些函数的域和共域的信息。特别是，它建立了一个同构，表明这两个域在某种意义上是等价的。
从范畴论的角度来看，这意味着它们无法通过范畴的态射来区分。范畴论强调范畴的态射是获取对象信息的唯一途径，所以这种不可区分性非常重要。
当你只有单向逆时，你仍然在学习很多关于这两个域的知识……但并不是说它们是同构的。
单向逆给你的一件事是幂等的。幂等是i从域到自身的函数（自同态），使得i . i = i. 给定任何两个函数，其中f . g = id,g . f是幂等的，并且证明非常明显：
i . i = (g . f) . (g . f) = g . f . g . f = g . (f . g) . f = g . f = i
要考虑的另一件好事是每个函数都会f :: A -> B产生“反图像”函数inv f :: B -> (A -> Bool)。
inv :: Eq b => (a -> b) -> b -> a -> Bool
inv f b a = f a == b
在更数学的术语中，逆图像函数是从共域B到域子集的映射，A使得每个这样的子集中的每个元素都A映射到 的相同元素B。这些子集分区A（这是一个函数的定义）。
如果我们有另一个函数在子集中（即g :: B -> A对于all ），那么我们有g binv f binv f b (g b) == Trueb
f . g == id
但这比同构要弱得多，技术性也A更强B。它只是意味着g将元素发送到其中将立即发送回来的B子集。Af
例如，它承认了一个关于空间“纤维化”的有趣概念。
如果g :: X -> Y是满射的，则不一定存在逆函数f :: Y -> X。然而，满射函数g可以反转某些函数f。
假设每个yinY都有一个独特的x价值。指定一个函数，让每个这样的 in在这样的 中找到是可行的。该语句显示了 unique for all的存在，但这并没有说明所有 unique的存在（即不保证唯一性）。（我什至没有触及如何构建 - 你需要选择公理）。XfgxXyYg . f == idxyyxg
使用您自己的示例myRead . myShow ≡ id，但是
(myShow . myRead) "0xFF" = "255"
所以myShow . myRead ≢ id，你也可以通过计数参数看到这一点：
该类型Int具有有限多个值，而String具有无限多个值，因此虽然可以往返Int，String但从无限类型String到有限类型Int必须丢弃信息，因此您不能总是回到原始字符串，因此不可能在 和 之间构造同Int构String。