我有一个由法线（n）和距离（d）（从原点）定义的平面。我想把它变成一个新的系统。很长的路是这样的： 1) 将距离 (d) 与法线 (n) 相乘，得到 aa 向量 (p) 2) 旋转 (R) 并平移 (v) 向量 (p) 得到 (p') 3)归一化（p'）以获得法线 4）使用另一种算法来找到新平面和原点之间的最小距离（d'）
我还没有尝试过，但我想它应该可以工作。问题：没有更快的方法来获取 n' 和 d' 吗？如果翻译 (v) 为 0，我可以跳过 4)。但如果不是0呢？有没有更简单的方法来获得新的 d'？
您需要小心，因为法线不一定像点那样变换，并且距离是到原点的垂直距离，因此您必须计算d'= d + n.v. 如果您所做的只是平移和旋转，那么您可以旋转法线并计算新的垂直距离。但是，如果您以不同方式缩放轴，或进行一般投影变换，那么您需要以不同方式对待事物。
适用于所有事物的方法是使用齐次坐标，因此您的所有变换都是 4x4 矩阵，并且您的点和平面都是 4 向量：
point p=(x,y,z) -> homogeneous (x,y,z,1), equiv. to (x*W, y*W, z*W, W)
plane q=[n=(a,b,c), d] -> homogeneous [a,b,c,d], equiv. to [a*K, b*K, c*K, d*K)
-> point p is on plane q iff: p.q=0 (using homogeneous coords, as above)
通常，您会将所有变换矩阵乘以一个 4x4 矩阵 T，并在每个点上使用该矩阵，以确定其最终变换位置。诀窍是，您需要使用 T 的反转置来转换平面坐标。从下面可以看出，这保留了点和平面之间的入射：
point p' = T p
plane q' = (T^-1)^t q
-> point p' is on plane q' when: p'.q'=0
then, note: p'.q' = p^t T^t (T^-1)^t q = p^t q = p.q
so: p'.q'=0 whenever p.q=0
n' = n*R^T
d' = d - n*R^T*trans