combinatorics - 矩形网格的每一行或每一列的总和是偶数

Question

假设一个矩形网格在每个正方形中填充了 0 和 1，这样对于每一行和每一列，数字的总和都是偶数。证明如果正方形像棋盘上一样是黑白的，那么黑色正方形上的数字有一个偶数和。

谁能给我一个提示？

Answer 1

调用行 r_1,r_2,...,r_n。现在做一个转换，其中新的 r_(n-2) 是旧的 r_(n-2) 与旧的 r_n 异或，新的 r_n 是旧的 r_n 与旧的 r_n 异或。验证新正方形是否满足所有条件，并且保持黑色正方形和的奇偶性以及白色正方形和的奇偶性。

现在对列执行相同的操作。再次验证一切。由于最后一行和最后一列现在完全由零组成，我们可以在不更改任何条件或黑色方块和白色方块之和的奇偶校验的情况下删除它们。

因此，如果我们能够处理基本情况，即 2x2 正方形，我们就可以通过归纳来完成。我把它留作练习。

补充：需要注意的重要一点是异或总是在两个黑色方块或两个白色方块之间。

Answer 2

我可能错了，但我有兴趣看看我是否接近。

不管白=0还是黑=1，黑色都是偶数。

如果黑色 = 0，则黑色平方和 = 零 = 偶数。

所有行和列的总和为偶数。如果白色为 0，则黑色方块的总和一定是偶数，因为黑色方块的行和列是偶数。

我认为这不起作用的唯一方法是如果白色和黑色方块具有不同的值（黑色可以随机分配 1 或 0，白色可以随机分配 1 或 0）。