haskell - 对于一个类型的不同可能的 Monad 实例，隐含的 Functor 实例是否总是相同的？

Question

根据Typeclassopedia和这个链接，一个类型只能有一个Functor实例（链接中有一个证明）。但我的理解是，给定类型可能有多个可能的Monad实例，对吗？但是对于给定的Monad实例，有一个免费的Functor实例

fmap f xs  =  xs >>= return . f

由此，我得出结论，如果我偶然发现了一种可以Monad以不同方式定义多个实例的类型，那么上述fmap派生的函数必须对所有这些实例都相等，换句话说，如果我有两对函数：

bind_1 :: m a -> (a -> m b) -> m b
unit_1 :: a -> m a

bind_2 :: m a -> (a -> m b) -> m b
unit_2 :: a -> m a

对于相同类型的构造函数m，比，必然：

xs `bind_1` (unit_1 . f) == xs `bind_2` (unit_2 . f)

对于所有xs :: a和f :: a -> b。

这是真的？这是否作为一个定理成立？

Answer 1

是的。事实上，我们可以做出更强有力的声明，即所有函数都具有类型

fmap :: (a -> b) -> (F a -> F b)

这样fmap id = id是等价的。这实际上不属于fmap所谓的参数化类型。

>>=在你的情况下，如果return满足单子定律，那么

 mFmap f a  = a >>= return . f
 mFmap id a = a >>= return . id
 mFmap id a = a >>= return
 mFmap id a = a
 mFmap id = id

a >>= return根据正义的单子法则a。使用这个结果，我们可以诉诸从参数化中得到的自由定理，并且我们得到了证明。