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我正在尝试开发随机梯度下降，但我不知道它是否 100% 正确。

  • 我的随机梯度下降算法产生的成本有时与 FMINUC 或批量梯度下降产生的成本相差甚远。
  • 虽然当我将学习率 alpha 设置为 0.2 时，批量梯度下降成本会收敛，但我不得不将学习率 alpha 设置为 0.0001，以便我的随机实现不会发散。这是正常的吗？

这是我使用 10,000 个元素和 num_iter = 100 或 500 的训练集获得的一些结果

    FMINUC : 
    Iteration  #100 | Cost: 5.147056e-001

    BACTH GRADIENT DESCENT  500 ITER
    Iteration #500 - Cost = 5.535241e-001

    STOCHASTIC GRADIENT DESCENT 100 ITER
    Iteration #100 - Cost = 5.683117e-001  % First time I launched
    Iteration #100 - Cost = 7.047196e-001  % Second time I launched

逻辑回归的梯度下降实现

J_history = zeros(num_iters, 1); 

for iter = 1:num_iters 

    [J, gradJ] = lrCostFunction(theta, X, y, lambda);
    theta = theta - alpha * gradJ;
    J_history(iter) = J;

    fprintf('Iteration #%d - Cost = %d... \r\n',iter, J_history(iter));
end

逻辑回归的随机梯度下降实现

% number of training examples
m = length(y);

% STEP1 : we shuffle the data
data = [y, X];
data = data(randperm(size(data,1)),:);
y = data(:,1);
X = data(:,2:end);

for iter = 1:num_iters 

     for i = 1:m
        x = X(i,:); % Select one example
        [J, gradJ] = lrCostFunction(theta, x, y(i,:), lambda);
        theta = theta - alpha * gradJ;
     end

     J_history(iter) = J;
     fprintf('Iteration #%d - Cost = %d... \r\n',iter, J);

end

作为参考，这是我的示例中使用的逻辑回归成本函数

function [J, grad] = lrCostFunction(theta, X, y, lambda)

m = length(y); % number of training examples

% We calculate J    
hypothesis = sigmoid(X*theta); 
costFun = (-y.*log(hypothesis) - (1-y).*log(1-hypothesis));    
J = (1/m) * sum(costFun) + (lambda/(2*m))*sum(theta(2:length(theta)).^2);

% We calculate grad using the partial derivatives
beta = (hypothesis-y); 
grad = (1/m)*(X'*beta);
temp = theta;  
temp(1) = 0;   % because we don't add anything for j = 0  
grad = grad + (lambda/m)*temp; 
grad = grad(:);

end
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3 回答 3

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这很好。如果您担心选择合适的学习率alpha，您应该考虑应用线搜索方法。

线搜索是一种在每次迭代中为梯度下降选择最优学习率的方法，这比在整个优化过程中使用固定学习率要好。学习率的最佳值alpha是局部（从theta负梯度方向的当前）最小化成本函数的值。

例如，在梯度下降的每一次迭代中，从学习率开始alpha = 0逐渐增加alpha固定的步长deltaAlpha = 0.01。重新计算参数theta并评估成本函数。由于成本函数是凸的，因此通过增加alpha（即通过向负梯度方向移动）成本函数将首先开始减少，然后（在某个时刻）增加。在那一刻停止线搜索并alpha在成本函数开始增加之前取最后一个。现在theta用那个更新参数alpha。如果成本函数从未开始增加，则停在alpha = 1。

注意：对于大的正则化因子 ( lambda = 100, lambda = 1000)，它可能deltaAlpha太大并且梯度下降会发散。如果是这种情况，请减少deltaAlpha10 倍 ( deltaAlpha = 0.001, deltaAlpha = 0.0001)，直到达到deltaAlpha梯度下降收敛的合适值。

此外，您应该考虑使用迭代次数以外的一些终止条件，例如，当两个后续迭代中成本函数之间的差异变得足够小（小于 some epsilon）时。

于 2014-01-26T00:25:49.683 回答
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学习率值较小是有原因的。简而言之，当学习率以适当的速率降低时，并且在相对温和的假设下，当目标函数为凸或伪凸时，随机梯度下降几乎肯定会收敛到全局最小值，否则几乎肯定会收敛到局部最小值。这实际上是罗宾斯-西格蒙德定理的结果。

罗宾斯，赫伯特；西格蒙德，大卫 O. (1971)。“非负几乎超鞅的收敛定理和一些应用”。在 Rustagi，Jagdish S. 优化统计方法。学术出版社

于 2014-01-25T15:08:42.667 回答
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学习率始终在 0 到 1 之间。如果您将学习率设置得非常高，那么由于跳过，它会在较小程度上遵循期望。因此，即使需要更多时间，也要采用较小的学习率。输出结果会更有说服力。

于 2014-01-25T20:15:19.900 回答