least-squares - 垂直线的最小二乘方程

Question

给定以下二维点：

213 106.8

214 189

214 293.4

213 324

223 414

我想找到一个穿过它们的最小二乘垂直轴线的方程。我的计划是得到一个线方程，这样我就可以测试后续点到最小二乘线的距离。

谢谢

Answer 1

严格来说，没有为垂直线定义最小二乘拟合（因为每个点的误差是平行于 Y 轴测量的）。

但是，如果交换 X 和 Y，则可以找到具有最佳最小二乘拟合的水平线。它可以简单地计算 Y 坐标值的平均值：

水平线的方程很简单，y = b。

每个点 (x _i , y _i ) 的误差为 (y _i - b)。

误差平方和为 SSE = sum( (y _i - b) ² )。我们希望找到最小化 SSE 的 b 值。取 SSE 关于 b 的偏导数并将其设置为零：

总和(-2(y _i - b)) = 0

简化，

总和(y _i ) - Nb = 0

和

b = 总和(y _i )/N

因此，在您的情况下，平均 X 坐标可为您提供最适合您的点的垂直线的 X 坐标。

Answer 2

最通用的解决方案是应用总最小二乘法

这找到 (a, b, d) 以最小化垂直距离平方和 (ax+by=d (a^2+b^2=1): |ax + by – d|)。这可以处理垂直线，例如0x+1y=0。

但是，这有点难以实现，因此@Jim Lewis 提供的解决方案可能更好，更实用..

Answer 3

如果您希望最佳拟合线是垂直的（即 x = 常数），则 y 值无关紧要。只需取 x 值平方的均值的平方根。