java - java中的3D Ray-Quad相交测试

Question

在 3D 空间中，我试图确定射线/线是否与正方形相交，如果是，则在它相交的正方形上的 x 和 y 位置。

我有一条由两点表示的射线：

R1 = (Rx1, Ry1, Rz1) and 
R2 = (Rx2, Ry2, Rz2)

正方形由四个顶点表示：

S1 = (Sx1, Sy1, Sz1), 
S2 = (Sx2, Sy2, Sz2), 
S3 = (Sx3, Sy3, Sz3) and 
S4 = (Sx4, Sy4, Sz4).

我在网上找到了很多代数方程，但似乎没有一个完全适合这个问题。理想情况下，我想要 Java 代码中的答案，但我可以轻松转换为代码的等式也可以。

所有帮助将不胜感激。

Answer 1

以下是解决方案的概述：

1. 计算正方形的平面方程（假设四个点共面），

2. 做一个射线/平面相交，这给你任何东西（平行于正方形的射线，我忽略了射线嵌入平面的情况）或一个点，

3. 获得交点后，将其投影在正方形平面上的局部 2D 基础上，这将给出平面上点的 2D 坐标 (u, v)，

4. 检查 2D 坐标 (u, v) 是否在正方形内（假设四个点形成一个平行四边形，并且您为局部 2D 基础选择了两个相邻边），如果是，则存在交叉点（并且您有 u/v 坐标）。

现在有了实际的方程，假设四个正方形顶点如下放置：

   S1 +------+ S2
      |      |
      |      |
   S3 +------+ S4

1. 平面的法线为：n = (S2 - S1) x (S3 - S1)

   一个点 M 属于这个平面，如果它满足这个方程： n 。( M - S1 ) = 0

2. 一个点 M 属于射线当且仅当它可以写成： M = R1 + t * dR 其中 dR = R2 - R1

   计算射线/平面的交点（等同于前面的两个方程）：

   ñ。(M-S1)=0=n。(R1 + t * dR - S1) = n。(R1 - S1) + t * n 。dR

   如果 n 。dR 为 0 则平面平行于射线，并且没有相交（同样，忽略射线嵌入平面的情况）。

   否则 t = -n 。(R1 - S1) / n 。dR 并将这个结果代入前面的方程 M = R1 + t * dR 给出了交点 M 的 3D 坐标。

3. 将向量 M - S1 投影到两个向量 S2 - S1 和 S3 - S1（从 S1 开始的方形边），这给出了两个数字 (u, v)：

   u = (M - S1) 。(S2 - S1)

   v = (M - S1) 。(S3 - S1)

4. 如果 0 <= u <= |S2 - S1|^2 和 0 <= v <= |S3 - S1|^2，则交点 M 在正方形内，否则在正方形外。

最后是前面等式的示例 Java 实现（为便于阅读而优化......）：

public class Test {
    static class Vector3 {
        public float x, y, z;

        public Vector3(float x, float y, float z) {
            this.x = x;
            this.y = y;
            this.z = z;
        }

        public Vector3 add(Vector3 other) {
            return new Vector3(x + other.x, y + other.y, z + other.z);
        }

        public Vector3 sub(Vector3 other) {
            return new Vector3(x - other.x, y - other.y, z - other.z);
        }

        public Vector3 scale(float f) {
            return new Vector3(x * f, y * f, z * f);
        }

        public Vector3 cross(Vector3 other) {
            return new Vector3(y * other.z - z * other.y,
                               z - other.x - x * other.z,
                               x - other.y - y * other.x);
        }

        public float dot(Vector3 other) {
            return x * other.x + y * other.y + z * other.z;
        }
    }

    public static boolean intersectRayWithSquare(Vector3 R1, Vector3 R2,
                                                 Vector3 S1, Vector3 S2, Vector3 S3) {
        // 1.
        Vector3 dS21 = S2.sub(S1);
        Vector3 dS31 = S3.sub(S1);
        Vector3 n = dS21.cross(dS31);

        // 2.
        Vector3 dR = R1.sub(R2);

        float ndotdR = n.dot(dR);

        if (Math.abs(ndotdR) < 1e-6f) { // Choose your tolerance
            return false;
        }

        float t = -n.dot(R1.sub(S1)) / ndotdR;
        Vector3 M = R1.add(dR.scale(t));

        // 3.
        Vector3 dMS1 = M.sub(S1);
        float u = dMS1.dot(dS21);
        float v = dMS1.dot(dS31);

        // 4.
        return (u >= 0.0f && u <= dS21.dot(dS21)
             && v >= 0.0f && v <= dS31.dot(dS31));
    }

    public static void main(String... args) {
        Vector3 R1 = new Vector3(0.0f, 0.0f, -1.0f);
        Vector3 R2 = new Vector3(0.0f, 0.0f,  1.0f);

        Vector3 S1 = new Vector3(-1.0f, 1.0f, 0.0f);
        Vector3 S2 = new Vector3( 1.0f, 1.0f, 0.0f);
        Vector3 S3 = new Vector3(-1.0f,-1.0f, 0.0f);

        boolean b = intersectRayWithSquare(R1, R2, S1, S2, S3);
        assert b;

        R1 = new Vector3(1.5f, 1.5f, -1.0f);
        R2 = new Vector3(1.5f, 1.5f,  1.0f);

        b = intersectRayWithSquare(R1, R2, S1, S2, S3);
        assert !b;
    }
}