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我试图了解分布式计算，但遇到了一个寻找大量数字中位数的问题：

假设我们有大量无法放入内存（大小为 N）的数字（假设元素数量为 N*K）。我们如何找到这些数据的中位数？假设在内存上执行的操作是独立的，即我们可以认为有 K 台机器，每台机器最多可以处理 N 个元素。

我认为中位数的中位数可以用于此目的。我们可以一次将 N 个数字加载到内存中。我们及时找到该集合的中位数O(logN)并将其保存。

然后我们保存所有这些 K 个中位数并找出中位数的中位数。再次O(logK)，到目前为止的复杂性O(K*logN + logK)。

但是这个中位数只是一个近似的中位数。我认为将它用作获得最佳案例性能的支点将是最佳选择，但为此我们需要将所有 N*K 数字放入内存中。

既然我们有一个很好的近似枢轴，我们如何才能找到集合的实际中位数？

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3 回答 3

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你为什么不建立一个直方图？即属于几个类别中的每个类别的案例（值）的数量。类别应该是变量的连续、非重叠区间。

使用此直方图，您可以对中位数进行初步估计（即，中位数在 [a,b] 之间），并知道有多少值落入此区间 (H)。如果 H<=N，则再次读取数字，忽略此区间外的这些数字，并将区间内的数字移至 RAM。找到中位数。

如果 H>N，则重新划分区间并重复该过程。它不应该超过 2 或 3 次迭代。

请注意，对于每个分区，您只需要存储 a、b、一个 Delta 和包含每个子区间的值数量的数组。

编辑。结果证明它比我预期的要复杂一些。在估计中位数落入的区间后的每次迭代中，我们还应该考虑在该区间的右侧和左侧留下“多少”直方图。我也改变了停止条件。无论如何，我做了一个 C++ 实现。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>

//This is N^2... or just the number of values in your array,
//note that we never modify it except at the end (just for sorting
//and testing purposes).
#define N2 1000000
//Number of elements in the histogram. Must be >2
#define HISTN 1000

double findmedian (double *values, double min, double max);
int getindex (int *hist);
void put (int *hist, double min, double max, double val, double delta);


int main ()
{
    //Set max and min to the max/min values your array variables can hold,
    //calculate it, or maybe we know that they are bounded
    double max=1000.0;
    double min=0.0;
    double delta;
    double values[N2];
    int hist[HISTN];
    int ind;
    double median;
    int iter=0;
    //Initialize with random values   
    srand ((unsigned) (time(0)));
    for (int i=0; i<N2; ++i)
        values[i]=((double)rand()/(double)RAND_MAX);

    double imin=min;
    double imax=max;

    clock_t begin=clock(); 
    while (1) {
        iter++;
        for (int i=0; i<HISTN; ++i)
            hist[i]=0;

        delta=(imax-imin)/HISTN;
        for (int j=0; j<N2; ++j)
            put (hist, imin, imax, values[j], delta);

        ind=getindex (hist);
        imax=imin;
        imin=imin+delta*ind;
        imax=imax+delta*(ind+1);

        if (hist[ind]==1 || imax-imin<=DBL_MIN) {
            median=findmedian (values, imin, imax);
            break;
        }   
    }

    clock_t end=clock();
    std::cout << "Median with our algorithm: " << median << " - " << iter << "iterations of the algorithm" << std::endl; 
    double time=(double)(end-begin)/CLOCKS_PER_SEC;
    std::cout << "Time: " << time << std::endl;  

    //Let's compare our result with the median calculated after sorting the
    //array
    //Should be values[(int)N2/2] if N2 is odd
    begin=clock();
    std::sort (values, values+N2);
    std::cout << "Median after sorting: " << values[(int)N2/2-1] << std::endl;
    end=clock();
    time=(double)(end-begin)/CLOCKS_PER_SEC;
    std::cout << "Time: " << time << std::endl;  

    return 0;
}

double findmedian (double *values, double min, double max) {
    for (int i=0; i<N2; ++i) 
        if (values[i]>=min && values[i]<=max)
            return values[i];

    return 0;
}

int getindex (int *hist)
{
    static int pd=0;
    int left=0;
    int right=0; 
    int i;

    for (int k=0; k<HISTN; k++)
        right+=hist[k];

    for (i=0; i<HISTN; i++) {
        right-=hist[i];
        if (i>0)
            left+=hist[i-1];
        if (hist[i]>0) {
            if (pd+right-left<=hist[i]) {
                pd=pd+right-left;
                break;
            }
        }

    }

    return i;
}

void put (int *hist, double min, double max, double val, double delta)
{
    int pos;
    if (val<min || val>max)
        return;

    pos=(val-min)/delta;
    hist[pos]++;
    return;
}

我还包括了一个简单的中位数计算（排序），以便与算法的结果进行比较。4 或 5 次迭代就足够了。这意味着我们只需要从网络或硬盘读取设备 4-5 次。

一些结果：

N2=10000
HISTN=100

Median with our algorithm: 0.497143 - 4 iterations of the algorithm
Time: 0.000787
Median after sorting: 0.497143
Time: 0.001626

(Algorithm is 2 times faster)

N2=1000000
HISTN=1000

Median with our algorithm: 0.500665 - 4 iterations of the algorithm
Time: 0.028874
Median after sorting: 0.500665
Time: 0.097498

(Algorithm is ~3 times faster)

如果要算法并行化，每台机器可以有N个元素，计算直方图。一旦计算出来，他们会将其发送到主机，这将对所有直方图求和（很容易，它可以非常小......该算法甚至适用于 2 个间隔的直方图）。然后它将向从机发送新指令（即新间隔）以计算新的直方图。请注意，每台机器不需要了解其他机器拥有的 N 个元素。

于 2014-01-10T19:48:41.820 回答
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随机抽取 N 个样本。在依赖于 c 的恒定概率的情况下，该随机样本的中位数在中位数的 c*N 个位置内。如果你这样做两次，那么，以恒定的概率，你已经将中位数的可能位置缩小到线性多。做任何你喜欢的可怕的事情来选择适当等级的元素。

于 2014-01-10T19:57:22.090 回答
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如果您假设您的数字是B位二进制整数（浮点也可以，因为您可以基于符号排序，然后基于指数，然后基于尾数），那么O(N^2 B / K)如果您有K处理器和N^2数字，您可以及时解决问题. 您基本上是进行二分搜索：从等于范围中间的枢轴开始，并使用您的K处理器计算有多少数字小于、等于和大于枢轴。然后你会知道中位数是等于枢轴还是大于或小于枢轴。继续二分查找。每个二进制搜索步骤都需要O(N^2 /K)时间来遍历数字列表，从而给出O(N^2 B / K)总体运行时间。

于 2014-01-10T19:42:55.757 回答