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我想知道这是否属实：当我取平方整数的平方根时，例如

f = Math.sqrt(123*123)

我会得到一个非常接近的浮点数123。由于浮点表示精度，这可能类似于 122.99999999999999999999 或 123.000000000000000000001。

因为floor(122.999999999999999999)是 122，我应该得到 122 而不是 123。所以我预计floor(sqrt(i*i)) == i-1在大约 50% 的情况下会这样。奇怪的是，对于我测试过的所有数字，floor(sqrt(i*i) == i. 这是一个测试前 1 亿个数字的小 ruby​​ 脚本：

100_000_000.times do |i|
  puts i if Math.sqrt(i*i).floor != i
end

上面的脚本从不打印任何东西。为什么呢？

更新：感谢您的快速回复，这似乎是解决方案：根据维基百科

任何绝对值小于或等于 2^24 的整数都可以用单精度格式精确表示，任何绝对值小于或等于 2^53 的整数都可以用双精度格式精确表示。

Math.sqrt(i*i) 从 i=9007199254740993，即 2^53 + 1 开始，开始按照我的预期运行。

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4 回答 4

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这是您困惑的本质：

由于浮点表示精度，这可能类似于 122.99999999999999999999 或 123.000000000000000000001。

这是错误的。在符合 IEEE-754 的系统上，它总是正好是 123，这几乎是现代所有系统。浮点运算没有“随机误差”或“噪声”。它具有精确的、确定性的舍入，并且许多简单的计算（比如这个）根本不会产生任何舍入。

123完全可以用浮点表示，所以也是123*123（所有中等大小的整数也是如此）。123*123因此，当您转换为浮点类型时，不会发生舍入错误。结果正好 15129。

根据 IEEE-754 标准，平方根是正确的舍入运算。这意味着如果有一个确切的答案，则需要平方根函数来产生它。由于您正在取 的平方根，也就是， 这正是您从平方根函数得到的结果。不会发生舍入或近似。15129 123

现在，对于多大的整数，这将是正确的？

双精度可以精确表示最大为 2^53 的所有整数。因此，只要i*i小于 2^53，您的计算中就不会发生舍入，因此结果将是准确的。这意味着对于所有i小于94906265，我们知道计算将是精确的。

但你尝试i的比这更大！发生了什么？

对于i您尝试过的最大的，i*i仅略大于 2^53 （1.1102... * 2^53实际上）。因为从整数到双精度的转换（或双精度乘法）也是正确的舍入运算，i*i所以将是最接近 的精确平方的可表示值i。在这种情况下，由于i*i54 位宽，舍入将发生在最低位。因此我们知道：

i*i as a double = the exact value of i*i + rounding

rounding要么在哪里-1,0, or 1。如果四舍五入为零，则平方是精确的，所以平方根是精确的，所以我们已经知道你得到了正确的答案。让我们忽略这种情况。

所以现在我们正在研究 的平方根i*i +/- 1。使用泰勒级数展开，这个平方根的无限精确（未四舍五入）值为：

i * (1 +/- 1/(2i^2) + O(1/i^4))

现在看看你之前是否没有做过任何浮点错误分析有点繁琐，但是如果你使用这个事实i^2 > 2^53，你可以看到：

1/(2i^2) + O(1/i^4)

term 小于 2^-54，这意味着（由于平方根被正确舍入，因此它的舍入误差必须小于 2^54），sqrt 函数的舍入结果正好是i.

事实证明（通过类似的分析），对于任何可精确表示的浮点数 x，sqrt(x*x) 恰好是 x（假设 的中间计算x*x没有上溢或下溢），所以你唯一的方法这种类型的计算可能会遇到舍入是在其x自身的表示中，这就是为什么您会看到它从2^53 + 1（最小的不可表示的整数）开始。

于 2010-01-13T22:18:42.397 回答
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对于“小”整数，通常有一个精确的浮点表示。

于 2010-01-13T21:42:17.297 回答
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不难发现这种情况会如您所料那样崩溃：

Math.sqrt(94949493295293425**2).floor
# => 94949493295293424
Math.sqrt(94949493295293426**2).floor
# => 94949493295293424
Math.sqrt(94949493295293427**2).floor
# => 94949493295293424
于 2010-01-13T21:44:38.707 回答
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Ruby 的 Float 是一个双精度浮点数，这意味着它可以准确地表示具有（经验法则）大约 16 个有效十进制数字的数字。对于常规的单精度浮点数，它大约是 7 位有效数字。

您可以在这里找到更多信息：

每个计算机科学家都应该知道的关于浮点运算的知识：http: //docs.sun.com/source/819-3693/ncg_goldberg.html

于 2010-01-13T22:09:13.903 回答