boolean-expression - 德摩根关于布尔表达式的定律

Question

问题是：假设p,q和r是布尔变量。考虑以下表达式：

!(p && !q || r)
Which of the following expressions is equivalent to the given expression?
A. (p && r) || (!q && r)
B. (!p && !q) || (!p && r)
C. (!p || q ) && !r
D. (!p || q && !r)
E. (!p || q) || r

我用 D 解决了它。但答案是 C。布尔运算符的结合律是什么？谁能解释为什么它应该是C？

谢谢，米塔

Answer 1

布尔代数使用此运算符优先级：NOT、AND、OR

所以原来的表达式可以改写为：

!((p && !q) || r)
  ^--     ^-- new

不改变意思。要在否定后保留该操作顺序：

!(p && !q) && !r
(!p || q) && !r

这是你的 C) 答案

Answer 2

请参阅德摩根定律并注意它仅在(P && Q)和上直接定义(P || Q)。

二元运算符是左结合的，优先级是：(), !, &&, || .

因此：

!(p && !q || r)      // start
!((p && !q) || r)    // explicitly grouping by precedence
(!(p && !q) && !r)   // by DM
(!p || q) && !r      // by DM

这到达了C，但我们做不到，D因为这需要分配&&或调整括号以改变优先级。

Answer 3

我将使用PyEDA回答

>>> from pyeda.inter import *
>>> f = Not(Or(And('p', '-q'), 'r'))
>>> ga = Or(And('p', 'r'), And('-q', 'r'))
>>> gb = Or(And('-p', '-q'), And('-p', 'r'))
>>> gc = And(Or('-p', 'q'), '-r')
>>> gd = Or('-p', And('q', '-r'))
>>> ge = Or(Or('-p', 'q'), 'r')

>>> for g in [ga, gb, gc, gd, ge]:
...     print(f.equivalent(g))

False
False
True
False
False

>>> expr2truthtable(f)
inputs: r q p
000 1
001 0
010 1
011 1
100 0
101 0
110 0
111 0

>>> expr2truthtable(gc)
inputs: r q p
000 1
001 0
010 1
011 1
100 0
101 0
110 0
111 0