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我有一个程序可以根据泰勒级数计算反正弦值的近似值。

反正弦

我和我的朋友想出了一个算法，它能够返回几乎“正确”的值，但我认为我们做得不是很清楚。看一看：

double my_asin(double x)
{
    double a = 0;
    int i = 0;
    double sum = 0;
    a = x;
    for(i = 1; i < 23500; i++)
    {
        sum += a;
        a = next(a, x, i);
    }
}

double next(double a, double x, int i)
{
    return a*((my_pow(2*i-1, 2)) / ((2*i)*(2*i+1)*my_pow(x, 2)));
}

我检查了 my_pow 是否正常工作，所以我也不需要在这里发布它。基本上，一旦当前项和下一项之间的差异大于或等于我的 EPSILON (0.00001)，我希望循环结束，这是我在计算平方根时使用的精度。

这就是我希望它的工作方式：

while(my_abs(prev_term - next_term) >= EPSILON)

但是函数double next取决于i，所以我想我也必须在 while 语句中增加它。有什么想法我应该怎么做？

-1 的示例输出：

$ -1.5675516116e+00

代替：

$ -1.5707963268e+00

非常感谢你们。

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4 回答 4

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您的代码和问题的问题包括：

  1. 您显示 arcsin 的泰勒级数的图像文件有两个错误： x 5项上有一个减号而不是一个加号，x 的幂显示为x n但应该是x 2 n +1。
  2. arcsin 的泰勒级数项中的x因子在每个项中增加x 2，但您的公式在每个项中除以x 2。这对于您询问的特定值 -1 无关紧要，但对于除 1 之外的其他值，它会产生错误的结果。a*((my_pow(2*i-1, 2)) / ((2*i)*(2*i+1)*my_pow(x, 2)))
  3. 您询问一旦术语差异“大于或等于”您的 epsilon 时如何结束循环，但是，对于x的大多数值，您实际上想要小于（或者相反，您想要continue，而不是end，而如您在代码中显示的那样，差异大于或等于）。
  4. 泰勒级数是评估函数的一种糟糕方法，因为它的误差会随着您远离级数中心点而增加。像这样的函数的大多数数学库实现都使用极小极大系列或与之相关的东西。
  5. 评估从低阶项到高阶项的序列会导致您先添加较大的值，然后再添加较小的值。由于浮点运算的性质，这意味着较小项的准确性会丢失，因为它被较大的值“推出”了浮点格式的宽度。这种影响将限制任何结果的准确性。
  6. 最后，为了直接解决您的问题，您构建代码的方式，您直接更新a，因此您永远不会同时拥有上一个术语和下一个术语。相反，请创建另一个double b，以便您拥有b上一个术语的对象a和当前术语的对象，如下所示。

例子：

double a = x, b, sum = a;
int i = 0;
do
{
    b = a;
    a = next(a, x, ++i);
    sum += a;
} while (abs(b-a) > threshold);
于 2013-11-23T12:12:02.323 回答
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使用泰勒级数是arcsin非常不精确的，因为这些东西收敛得非常糟糕，并且对于有限数量的热量，与真实的东西会有相对大的差异。同样使用pow整数指数也不是很精确和有效。

但是使用arctan它是可以的

arcsin(x) = arctan(x/sqrt(1-(x*x)));

由于它的泰勒级数在范围上收敛正常，因此<0.0,0.8>范围的所有其他部分都可以通过它计算（使用三角恒等式）。所以这里是我的C++实现（来自我的算术模板）：

T atan    (const T &x)                                              // = atan(x)
    {
    bool _shift=false;
    bool _invert=false;
    bool _negative=false;
    T z,dz,x1,x2,a,b; int i;
    x1=x; if (x1<0.0) { _negative=true; x1=-x1; }
    if (x1>1.0) { _invert=true; x1=1.0/x1; }
    if (x1>0.7) { _shift=true; b=::sqrt(3.0)/3.0; x1=(x1-b)/(1.0+(x1*b)); }
    x2=x1*x1;
    for (z=x1,a=x1,b=1,i=1;i<1000;i++)  // if x1>0.8 convergence is slow
        {
        a*=x2; b+=2; dz=a/b; z-=dz;
        a*=x2; b+=2; dz=a/b; z+=dz;
        if (::abs(dz)<zero) break;
        }
    if (_shift) z+=pi/6.0;
    if (_invert) z=0.5*pi-z;
    if (_negative) z=-z;
    return z;
    }
T asin    (const T &x)                                              // = asin(x)
    {
    if (x<=-1.0) return -0.5*pi;
    if (x>=+1.0) return +0.5*pi;
    return ::atan(x/::sqrt(1.0-(x*x)));
    }

T任何浮点类型（float,double，...）在哪里。如您所见，您需要实现 、sqrt(x)和操作。常数是目标精度。pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105zero=1e-20+,-,*,/zero

所以只需替换T并float/double忽略::...

于 2018-06-17T07:08:24.890 回答
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你的公式是错误的。这是正确的公式：http ://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116A/taylor11.pdf 。

PS还请注意，您的公式和您的系列不对应。

在此处输入图像描述

你可以像这样使用while：

while( std::abs(sum_prev - sum) < 1e-15 )
    {
        sum_prev = sum;
        sum += a;
        a = next(a, x, i);
    }
于 2013-11-23T11:23:28.870 回答
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所以我想我也必须在 while 语句中增加它

是的，这可能是一种方式。什么阻止了你？

int i=0;
while(condition){
   //do something
   i++;
}

另一种方法是使用 for 条件：

for(i = 1; i < 23500 && my_abs(prev_term - next_term) >= EPSILON; i++)
于 2013-11-23T10:52:04.973 回答