vector - 向方向向量添加随机传播

Question

假设我有一个单位向量 a = Vector(0,1,0) 并且我想在 x = Vector(-0.2,0,-0.2) 和 y = Vector(0.2,0,0.2) 之间添加随机分布），我将如何去做呢？

如果我要在 x 和 y 之间简单地生成一个随机向量，我会在正方形边界的某处得到一个值：

我想要的是由 x 和 y 组成的圆圈内的值：

这似乎是一个简单的问题，但我现在无法弄清楚解决方案。任何帮助，将不胜感激。

（我没有在 mathoverflow 上问这个问题，因为这不是一个真正的“研究级数学问题”）

Answer 1

如果我正确阅读了您的问题，您需要一个随机方向的向量，该向量在特定长度（圆的半径）内。

圆的公式是：x ² + y ² = r ²

因此，如果您有一个最大半径r来限制矢量长度，那么可能会进行如下操作：

1. 为x选择一个随机值，位于-r和+r之间
2. 根据您选择的x计算随机化y的限制，因此y _lim = sqrt(r ² - x ² )
3. 最后，在-y _lim和+y _lim之间选择一个随机值y

这样，您会在x中获得随机方向，在y中获得随机方向，但向量长度将保持在0到r之间，因此将被限制在该半径的圆内。

在您的示例中，似乎r应该是sqrt(0.2 ² )，大约是0.28284。

更新

由于 3D 向量具有长度（或大小）sqrt(x ² +y ² +z ² )，因此您可以将该技术扩展到 3D，尽管我可能更喜欢一种不同的方法（这也适用于 2D）。

1. 通过选择任意 x、y和z来选择随机方向
2. 计算大小m = sqrt(x ² +y ² +z ² )
3. 归一化方向向量（通过将每个元素除以其大小），所以x = x/m，y = y/m，z=z/m
4. 现在选择一个随机长度，L介于0和r之间
5. 按随机长度缩放方向向量。所以x = x * L , y = y * L , z = z * L