floating-point - IEEE 舍入方案

Question

我正在尝试从以下来源了解 IEEE 舍入的特性On fast IEEE Rounding

任何人都可以解释四舍五入的方程式吗？是什么意思？什么是地板和天花板功能？我试过 IEEE 754 ，但没有提到这些

Answer 1

让我们从 floor( ) 和 ceiling( ) 开始（从这里我将称之为“ceil”）。这些是将实数映射到整数的基本数学函数。形式上，它们定义如下：

floor(x) = max { n in Z | n <= x }
ceil(x) = min { n in Z | n >= x }

更明确地说，下限x是不大于 的最大整数，x上限是不小于 的最小整数x。一些例子：

• floor(1.5)是1。
• ceil(2)是2。
• floor(-3.14159)是-4。

有关更多详细信息，请查阅维基百科。

好的，现在让我们继续四舍五入。每个实数 x 要么是一个整数（在这种情况下floor(x) == x == ceil(x)），要么位于两个整数之间floor(x) < x < ceil(x)。在数学上，“舍入规则”是f将实数映射到具有以下属性的整数的函数：对于每个实x数f(x) = floor(x)或f(x) = ceil(x)。这为在任何情况下选择哪种可能的结果留下了很大的灵活性，因此有很多不同的舍入规则。以下是一些示例（这些当然不是详尽无遗的）：

• 每个floor( )和ceil( )都是一个舍入规则。

• “向零舍入”：只需丢弃输入的小数部分。这也称为截断，通常写成称为 的数学函数trunc( )。它可以定义为trunc(x) = ceil(x)if x < 0，trunc(x) = floor(x)否则*。例如，trunc(1.5)是1和trunc(-2.7)是-2。

• “从零舍入”或“向无穷大舍入”：这是截断的“相反”；如果x < 0结果为floor(x)，则结果为ceil(x)否则。这条规则没有通用的数学名称，所以我就叫它round-away( )。例子：round-away(1.001)是2，round-away(-0.7071067812)是-1。

• “四舍五入”：如果输入x是整数，则返回x。否则，请查看floor(x)和ceil(x)。因为它们是连续整数，所以其中一个是偶数，另一个是奇数。返回一个奇怪的。一些例子：round-to-odd(1.001)是1、round-to-odd(-2.001)是-3和round-to-odd(4.0)是4.0。

• “四舍五入，连到偶数”：这是 IEEE-754 的默认舍入模式。我会称它为round( )，但这个名字（相当反常地）用于 C 库中的不同舍入规则，我不想让每个人都感到困惑，所以我将rne( )在这里改为调用它。这里的想法如下：如果有一个唯一的整数最接近x，则返回该整数。否则，x正好位于两个整数的中间；其中一个是偶数，另一个是奇数。返回偶数。

最后一条规则可以写成“RU with fix-up”，尽管从数学上来说这是一种有点奇怪的思考方式。更常见的是，它或多或少地正式定义如下：

rne(x) = floor(x)  if x - floor(x) < 0.5
         floor(x)  if x - floor(x) = 0.5 and floor(x) is even.
         ceil(x)   if x - floor(x) = 0.5 and floor(x) is odd.
         ceil(x)   if x - floor(x) > 0.5

rne( )此规则的一些实际应用示例： rne(0.5)is 0. rne(-1.5)是-2。 rne(1.3)是1。 rne(1.8)是2。

好的，所以这都是关于四舍五入到整数值。这与 IEEE-754 中的四舍五入到最接近的浮点数有什么关系？舍入规则不仅可以用于舍入到整数，还可以用于舍入到任何固定位数，只需将其缩放一个因子b**n，其中b是表示的基数，并且n被选择为使得所需的舍入点的数字以单位位置（LSB）结束。当然，我们实际上并不需要缩放数字和取消缩放结果；相反，我们只需将舍入规则中的ceil(x)and替换为向下舍入到所需位数的值。floor(x)x

[*] 我在这里定义实数的数学函数，而不是给出 IEEE-754 实现。因此，无需处理诸如 、 或 之类的-0边缘inf情况nan。