c++ - 计算最大子序列和的时间复杂度

Question

大家好，我试图计算最大子序列和的时间复杂度。实际上我知道答案是 O(n^3) 并且它来自函数 (n^3 + 3n^2 + 2n)/6

我的问题是如何获得该功能。

Answer 1

实际上很简单：只需查看代码中的循环即可。

for (int i=0; i<n; i++)
    for(j = i; j<n; j++) {
        ...
        for (int k=i; k<=j; k++)
            XXX;

该行XXX是执行n^3次数（模一些常数因子和 的一些较低幂n），因为外部循环显然从0to运行n-1，“中间”循环从i（将从0, 1, ... 开始）到n-1，这意味着内循环将“开始”大约n^2次。现在，两者都i依赖j于n（例如，i将是0和j=n-1在第一次外部迭代结束时），所以 lineXXX将n乘以（对于内部循环）n^2乘以（对于外部两个循环），总共是n^3.

要获得具体的功能(n^3 + 3n^2 + 2n)/6，您必须在计算中更加彻底，并注意我在上面省略的所有因素。

Answer 2

这是如何..

i=0
j=0 k=0              (count=1 )
j=1 k=0,1            (count =2)
j=2 k=0,1,2          (count = 3)
...
j=n-1 k=0,1,2,...n-1  (count = n)

Total number of times code executed = 1+2+3+...+n =  n(n+1)/2

i=1
j=1 k=1              (count=1 )
j=2 k=1,2            (count =2)
j=3 k=1,2, 3          (count = 3)
...
j=n-1 k=1,2,...n-1  (count = n-2)

Total number of times code executed = 1+2+3+...+n-1 =  (n-1)n/2

...

i=n-1
j=n-1 k=n-1     ( count = 1)
Total number of  of times code executed = 1 = 1(1+1)/2


 Now if we sum for all the values of i

 n(n+1)/2 + ((n-1)((n-1)+1)/2+.....+1(1+1)/2

 =∑ N(N+1)/2 =1/2∑(N^2 +N) =1/2(∑N^2+∑N)=1/2{  1/6  N(N+1)(2N+1) + 1/2 N(N+1) } =1/2{ (2N^3 + 3N^2+N )/6 +(N^2+N)/2} =(N^3 + 3N^2 + 2N)/6

Answer 3

检查Mark Allen Weiss 建议的这个解决方案（在他的书中）。