python - 二进制转十进制——公式解释

Question

谁能解释一下为什么二进制形式的数字： 111 是 2^3 - 1 ？我知道这个数字是由 1*2^0 + 1*2^1 + 1*2^2 计算的，但我看不到如何从这里到 2^3-1 ...看不到任何权力规则什么的..

Answer 1

数字 2 的一个独特属性是它之前的功率之和等于下一个功率级别减去 1。

换句话说：

2^n=2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)+1 对于 (1,2,3...) 中的 n

如果您需要证明，请使用数学归纳法。

基地：n=1;2^1=2=2^0+1=1+1

假设满足n=k属性2^n=2^0+2^1+...+2^(n-1)+1

对于 n=k+1，你可以2^n=(2^k)*(2^1)应用假设并且你有

2^n=(2^0+2^1+...+2^(n-2)+1)*2产生

2^n=(2^1+2^2+...+2^(n-1)+2)=1+2^0+2^1+...+2^(n-1)这结束了我们的证明。

Answer 2

添加1到111：结果是1000。

因此，可以得出以下结论：

111 + 1 = 1000 → 1000 - 1 = 111

现在，1000是，因此：23

2 3 - 1 = 111

当然，你可以对任意数量为 1 的二进制数说类似的话

Answer 3

可以这样想，111 比 1000 小 1（二进制为 8）。

Answer 4

0000是0，0001是1，0010是2。根据二进制数右侧的位的位置，该位等于该2^(p - 1)位置p的位置。

例如0010，1从右边数第二位。2^(2 - 1) = 2^1 = 2.

111是2^3 - 1因为1000is2^3和111is少一个单位1000，所以 being 2^3 - 1.

顺便说一句，在 python 中，您可以将0b其用作二进制值的标记。

x = 0b111
y = 2 ** 3 - 1
print(x == y)
>> True

该int()函数可用于转换二进制字符串

x = int("111", 2) # Base 2
y = 7
print(x == y)
>> True

Answer 5

碱基 B 的通式如下：

(B^N + ... + B^1 + B^0)*(B-1) =

(B^(N+1) + ... + B^2 + B^1) - (B^N + ... + B^1 + B^0) =

B^(N+1) - B^0 = B^(N+1)-1

例子：

1. B=2 和 N=3 给出 2^4 - 1 = 1111 二进制
2. B=10 和 N=3 给出 10^3 - 1 = 999 十进制