floating-point - 涉及相对误差和 ulp 的不等式

Question

下面的引述来自《What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic》的第 8 页。有人能解释一下不等式中涉及 1/2 ulp 的最后一个方程是如何产生的吗？

要计算对应于 1/2 ulp 的相对误差，请注意当实数近似为最接近的可能浮点数时

绝对误差可以大到

其中β′是数字β/2。这个错误是

由于形式的数字都具有相同的绝对误差，但其值介于 β^e 和 β x β^e 之间，因此相对误差范围介于

和。那是

Answer 1

这条线试图说明半个 ULP 对应的相对误差在所示的两个边界之间，这两个边界是在前面的行中计算的。然而，不是说对应于半个 ULP的相对误差在这些界限之间，而是说半个 ULP在这些界限之间。这是一个错误，除非我们对“ULP”的含义不太了解。我会写“1/2 ULP / x”，而不是该行中的“1/2 ULP”，其中 x 是正在考虑的数字。

（实际上，当我写 ULP 的时候，我经常写 ULP(x) 来表示 ULP 是一个特定值的 ULP，因为最后一个单位的值会根据数量而变化。）