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我已经阅读了手册页?poly（我承认我没有完全理解），还阅读了《统计学习简介》一书中对函数的描述。

我目前的理解是 call topoly(horsepower, 2)应该等同于 writing horsepower + I(horsepower^2)。但是，这似乎与以下代码的输出相矛盾：

library(ISLR)

summary(lm(mpg~poly(horsepower,2), data=Auto))$coef

    #                       Estimate Std. Error   t value      Pr(>|t|)
    #(Intercept)            23.44592  0.2209163 106.13030 2.752212e-289
    #poly(horsepower, 2)1 -120.13774  4.3739206 -27.46683  4.169400e-93
    #poly(horsepower, 2)2   44.08953  4.3739206  10.08009  2.196340e-21

summary(lm(mpg~horsepower+I(horsepower^2), data=Auto))$coef

    #                    Estimate   Std. Error   t value      Pr(>|t|)
    #(Intercept)     56.900099702 1.8004268063  31.60367 1.740911e-109
    #horsepower      -0.466189630 0.0311246171 -14.97816  2.289429e-40
    #I(horsepower^2)  0.001230536 0.0001220759  10.08009  2.196340e-21

我的问题是，为什么输出不匹配，poly真正在做什么？

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3 回答 3

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原始多项式

要获得问题中的普通多项式，请使用raw = TRUE. 不幸的是，回归中的普通多项式有一个不受欢迎的方面。例如，如果我们拟合二次方，然后拟合三次方，则三次方的低阶系数都与二次方不同，即二次方为 56.900099702、-0.466189630、0.001230536 与 6.068478e+01、-5.688501e-01、 2.079011e-03 用下面的立方体改装后。

library(ISLR)
fm2raw <- lm(mpg ~ poly(horsepower, 2, raw = TRUE), Auto)
cbind(coef(fm2raw))
##                                          [,1]
## (Intercept)                      56.900099702
## poly(horsepower, 2, raw = TRUE)1 -0.466189630
## poly(horsepower, 2, raw = TRUE)2  0.001230536

fm3raw <- lm(mpg ~ poly(horsepower, 3, raw = TRUE), Auto)
cbind(coef(fm3raw))
##                                           [,1]
## (Intercept)                       6.068478e+01
## poly(horsepower, 3, raw = TRUE)1 -5.688501e-01
## poly(horsepower, 3, raw = TRUE)2  2.079011e-03
## poly(horsepower, 3, raw = TRUE)3 -2.146626e-06

正交多项式

我们真正想要的是添加三次项，使得使用二次拟合的低阶系数在使用三次拟合重新拟合后保持不变。为此，对 的列进行线性组合poly(horsepower, 2, raw = TRUE)并对其执行相同操作，poly(horsepower, 3, raw = TRUE)以使二次拟合中的列彼此正交，并且对于三次拟合也类似。这足以保证当我们添加高阶系数时低阶系数不会改变。注意前三个系数现在在下面的两组中是相同的（而在上面它们不同）。也就是说，在这两种情况下，低于 3 个低阶系数是 23.44592、-120.13774 和 44.08953。

fm2 <- lm(mpg ~ poly(horsepower, 2), Auto)
cbind(coef(fm2))
##                            [,1]
## (Intercept)            23.44592
## poly(horsepower, 2)1 -120.13774
## poly(horsepower, 2)2   44.08953

fm3 <- lm(mpg ~ poly(horsepower, 3), Auto)
cbind(coef(fm3))
##                             [,1]
## (Intercept)            23.445918
## poly(horsepower, 3)1 -120.137744
## poly(horsepower, 3)2   44.089528
## poly(horsepower, 3)3   -3.948849

相同的预测

重要的是，由于 的列poly(horsepwer, 2)只是poly(horsepower, 2, raw = TRUE)两个二次模型（正交模型和原始模型）的列的线性组合，表示相同的模型（即它们给出相同的预测），并且仅在参数化方面有所不同。例如，拟合值是相同的：

all.equal(fitted(fm2), fitted(fm2raw))
## [1] TRUE

这也适用于原始和正交立方模型。

正交性

我们可以验证多项式确实具有正交列，这些列也与截距正交：

nr <- nrow(Auto)
e <- rep(1, nr) / sqrt(nr) # constant vector of unit length
p <- cbind(e, poly(Auto$horsepower, 2))
zapsmall(crossprod(p))
##   e 1 2
## e 1 0 0
## 1 0 1 0
## 2 0 0 1

残差平方和

正交多项式的另一个不错的特性是，由于poly生成的矩阵的列具有单位长度并且相互正交（并且也与截距列正交），因此由于添加三次项而导致的剩余平方和的减少很简单响应向量在模型矩阵三次列上的投影长度的平方。

# these three give the same result

# 1. squared length of projection of y, i.e. Auto$mpg, on cubic term column
crossprod(model.matrix(fm3)[, 4], Auto$mpg)^2
##         [,1]
## [1,] 15.5934

# 2. difference in sums of squares
deviance(fm2) - deviance(fm3) 
## [1] 15.5934

# 3. difference in sums of squares from anova
anova(fm2, fm3) 
## 
## Analysis of Variance Table
## 
## Model 1: mpg ~ poly(horsepower, 2)
## Model 2: mpg ~ poly(horsepower, 3)
##   Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
## 1    389 7442.0                           
## 2    388 7426.4  1    15.593 0.8147 0.3673  <-- note Sum of Sq value
于 2013-10-21T00:35:20.013 回答
36

在统计模型中引入多项式项时，通常的动机是确定响应是否“弯曲”以及在添加该项时曲率是否“显着”。添加项的结果+I(x^2)是微小的偏差可能会得到“由拟合过程根据它们的位置放大”，并且当它们只是数据范围的一端或另一端的波动时，被误解为由于曲率项。这会导致“重要性”声明的不恰当分配。

如果你只用 加上一个平方项I(x^2)，那么它必然也会与 x 高度相关，至少在 所在的域中x > 0。改为使用：poly(x,2)创建一组“曲线”变量，其中线性项与 x 的相关性不高，并且曲率在整个数据范围内大致相同。（如果您想了解统计理论，请搜索“正交多项式”。）只需键入poly(1:10, 2)并查看两列。

poly(1:10, 2)
                1           2
 [1,] -0.49543369  0.52223297
 [2,] -0.38533732  0.17407766
 [3,] -0.27524094 -0.08703883
 [4,] -0.16514456 -0.26111648
 [5,] -0.05504819 -0.34815531
 [6,]  0.05504819 -0.34815531
 [7,]  0.16514456 -0.26111648
 [8,]  0.27524094 -0.08703883
 [9,]  0.38533732  0.17407766
[10,]  0.49543369  0.52223297
attr(,"degree")
[1] 1 2
attr(,"coefs")
attr(,"coefs")$alpha
[1] 5.5 5.5

attr(,"coefs")$norm2
[1]   1.0  10.0  82.5 528.0

attr(,"class")
[1] "poly"   "matrix"

“二次”项以 5.5 为中心，线性项已向下移动，因此在同一 x 点处为 0（在(Intercept)请求预测时，依赖于模型中的隐式项将所有内容移回。）

于 2013-10-20T23:59:58.383 回答
24

一个快速的答案是poly向量x本质上等同于矩阵的 QR 分解，其列是x（居中后）的幂。例如：

> x<-rnorm(50)
> x0<-sapply(1:5,function(z) x^z)
> x0<-apply(x0,2,function(z) z-mean(z))
> x0<-qr.Q(qr(x0))
> cor(x0,poly(x,5))
                 1             2             3             4             5
[1,] -1.000000e+00 -1.113975e-16 -3.666033e-17  7.605615e-17 -1.395624e-17
[2,] -3.812474e-17  1.000000e+00  1.173755e-16 -1.262333e-17 -3.988085e-17
[3,] -7.543077e-17 -7.778452e-17  1.000000e+00  3.104693e-16 -8.472204e-17
[4,]  1.722929e-17 -1.952572e-16  1.013803e-16 -1.000000e+00 -1.611815e-16
[5,] -5.973583e-17 -1.623762e-18  9.163891e-17 -3.037121e-16  1.000000e+00
于 2013-10-21T00:52:16.527 回答