floating-point - 只有整数之后的最小整数可以表示 IEEE 754

Question

IEEE 754（单/双）只能表示整数之后的最小整数是多少？

我的猜测是它发生在指数为 254（11111110b 单）时。这样，无论在尾数中放入什么，该数字都将是整数。我只是想确认这一点，以及 2 的幂等值是什么。

Answer 1

假设“之后”是指幅度更大且时间不晚的数字，2 ²³表示 32 位二进制浮点数，2 ⁵²表示 64 位二进制浮点数。（这些是具有这些类型名称float的double最常见的编程语言实现。）

这是因为 32 位和 64 位格式的有效位分别有 24 位和 53 位。因此，在 32 位格式中，如果高位通过指数缩放为 2 ²²，则低位将为 2 ^–1（从 22 到 –1，包括 24 个位置）。由于有效数字包含缩放为非整数值的位，因此完整表示的值可能是非整数。如果高位被缩放到 2 ²³或更大，那么低位的值至少为 2 ⁰。

因此，如果一个整数小于 2 ²³，则最多为 2 ²³ –1，这意味着它的高位被缩放为 2 ²²，因此低位为 2 ^–1。实际上， 2 ²³ –½ 完全可以表示为float。

同样的道理也适用于double。