universal - 具有存在目标的普遍假设中的 Coq 箭头类型

Question

我有以下定理要证明：

Goal (exists x, ~P x) <-> ~(forall x, P x).

分手后

unfold not. split.

第一个含义很简单，基本上我们必须在存在量词中使用从forall引入的x

intros. destruct H. apply H. apply (H0 x).

但另一方面我不能这样继续下去，我认为应该有一个我找不到的想法。有什么建议吗？

Answer 1

好吧，这确实是有充分理由的：我相信它在直觉逻辑中是无法证明的。

如您所见，问题在于，要通过反向推理取得进展，您需要立即提供证人，而要通过正向推理取得进展，您需要掌握一个荒谬的假设。所以这个目标被卡住了。

问题是全称量词的否定并没有给你否定属性的存在证人。

引入经典公理后，有很多方法可以证明这一点。这是一个带有排中律的笨拙的例子：

Parameter T : Type.
Parameter P : T -> Prop.

Axiom EM : forall (A : Prop), A \/ ~ A.

Goal (exists x, ~P x) <-> ~(forall x, P x).
Proof.
  split; intro H.
  destruct H as [x H]. intro A. apply H. easy.
  destruct (EM (exists x, ~ P x)) as [?|NE].
  easy.
  elim H. intro x. destruct (EM (P x)) as [Px|NPx].
  easy.
  elim NE. exists x. easy.
Qed.