我一直在 Numpy/Scipy 中寻找包含有限差分函数的模块。但是，我发现最接近的是numpy.gradient()，这对于二阶精度的一阶有限差分很有用，但如果您想要高阶导数或更精确的方法，则效果不佳。我什至还没有为这类事情找到很多特定的模块。大多数人似乎都在根据需要做“自己动手”的事情。所以我的问题是，是否有人知道专门用于高阶（精度和导数）有限差分方法的任何模块（Numpy/Scipy 的一部分或第三方模块）。我有我自己的代码，我正在处理，但它目前有点慢，如果有的话我不会尝试优化它'
请注意，我说的是有限差分，而不是导数。我已经看到了scipy.misc.derivative()和Numdifftools，它采用了我没有的分析函数的导数。
快速做到这一点的一种方法是与高斯核的导数进行卷积。简单的情况是你的数组的卷积，[-1, 1]它给出了简单的有限差分公式。除此之外，(f*g)'= f'*g = f*g'在哪里*是卷积，所以你最终得到你的导数与一个普通的高斯卷积，所以这当然会使你的数据平滑一点，这可以通过选择最小的合理内核来最小化。
import numpy as np
from scipy import ndimage
import matplotlib.pyplot as plt
#Data:
x = np.linspace(0,2*np.pi,100)
f = np.sin(x) + .02*(np.random.rand(100)-.5)
#Normalization:
dx = x[1] - x[0] # use np.diff(x) if x is not uniform
dxdx = dx**2
#First derivatives:
df = np.diff(f) / dx
cf = np.convolve(f, [1,-1]) / dx
gf = ndimage.gaussian_filter1d(f, sigma=1, order=1, mode='wrap') / dx
#Second derivatives:
ddf = np.diff(f, 2) / dxdx
ccf = np.convolve(f, [1, -2, 1]) / dxdx
ggf = ndimage.gaussian_filter1d(f, sigma=1, order=2, mode='wrap') / dxdx
#Plotting:
plt.figure()
plt.plot(x, f, 'k', lw=2, label='original')
plt.plot(x[:-1], df, 'r.', label='np.diff, 1')
plt.plot(x, cf[:-1], 'r--', label='np.convolve, [1,-1]')
plt.plot(x, gf, 'r', label='gaussian, 1')
plt.plot(x[:-2], ddf, 'g.', label='np.diff, 2')
plt.plot(x, ccf[:-2], 'g--', label='np.convolve, [1,-2,1]')
plt.plot(x, ggf, 'g', label='gaussian, 2')
既然你提到np.gradient我假设你至少有 2d 数组，所以以下适用于：scipy.ndimage如果你想为 ndarrays 做它，它内置在包中。不过要小心，因为这当然不会给你完整的渐变，但我相信所有方向的产品。希望有更好的专业知识的人会说出来。
这是一个例子：
from scipy import ndimage
x = np.linspace(0,2*np.pi,100)
sine = np.sin(x)
im = sine * sine[...,None]
d1 = ndimage.gaussian_filter(im, sigma=5, order=1, mode='wrap')
d2 = ndimage.gaussian_filter(im, sigma=5, order=2, mode='wrap')
plt.figure()
plt.subplot(131)
plt.imshow(im)
plt.title('original')
plt.subplot(132)
plt.imshow(d1)
plt.title('first derivative')
plt.subplot(133)
plt.imshow(d2)
plt.title('second derivative')
使用gaussian_filter1d允许您沿某个轴进行方向导数：
imx = im * x
d2_0 = ndimage.gaussian_filter1d(imx, axis=0, sigma=5, order=2, mode='wrap')
d2_1 = ndimage.gaussian_filter1d(imx, axis=1, sigma=5, order=2, mode='wrap')
plt.figure()
plt.subplot(131)
plt.imshow(imx)
plt.title('original')
plt.subplot(132)
plt.imshow(d2_0)
plt.title('derivative along axis 0')
plt.subplot(133)
plt.imshow(d2_1)
plt.title('along axis 1')
上面的第一组结果对我来说有点令人困惑（当曲率应该指向下方时，原始峰值显示为二阶导数中的峰值）。在没有进一步研究 2d 版本的工作原理的情况下，我只能真正推荐 1d 版本。如果您想要幅度，只需执行以下操作：
d2_mag = np.sqrt(d2_0**2 + d2_1**2)
绝对喜欢 askewchan 给出的答案。这是一项很棒的技术。但是，如果您需要使用numpy.convolve我想提供这个小修复。而不是这样做：
#First derivatives:
cf = np.convolve(f, [1,-1]) / dx
....
#Second derivatives:
ccf = np.convolve(f, [1, -2, 1]) / dxdx
...
plt.plot(x, cf[:-1], 'r--', label='np.convolve, [1,-1]')
plt.plot(x, ccf[:-2], 'g--', label='np.convolve, [1,-2,1]')
...使用这样的'same'选项numpy.convolve：
#First derivatives:
cf = np.convolve(f, [1,-1],'same') / dx
...
#Second derivatives:
ccf = np.convolve(f, [1, -2, 1],'same') / dxdx
...
plt.plot(x, cf, 'rx', label='np.convolve, [1,-1]')
plt.plot(x, ccf, 'gx', label='np.convolve, [1,-2,1]')
...避免非一索引错误。
绘图时还要注意 x-index。numy.diff和的点numpy.convolve必须相同！要修复一个错误（使用我的'same'代码），请使用：
plt.plot(x, f, 'k', lw=2, label='original')
plt.plot(x[1:], df, 'r.', label='np.diff, 1')
plt.plot(x, cf, 'rx', label='np.convolve, [1,-1]')
plt.plot(x, gf, 'r', label='gaussian, 1')
plt.plot(x[1:-1], ddf, 'g.', label='np.diff, 2')
plt.plot(x, ccf, 'gx', label='np.convolve, [1,-2,1]')
plt.plot(x, ggf, 'g', label='gaussian, 2')
使用 s/bot/by/g 编辑更正的自动完成
您可能想看看findiff 项目。我自己试过了，它让您可以方便地获取任何维度、任何导数顺序和任何所需精度顺序的 numpy 数组的导数。该项目网站说它具有：
另一种方法是区分数据的插值。这是 unutbu 建议的，但我没有看到这里或任何链接问题中使用的方法。UnivariateSpline，例如， fromscipy.interpolate有一个有用的内置导数方法。
import numpy as np
from scipy.interpolate import UnivariateSpline
import matplotlib.pyplot as plt
# data
n = 1000
x = np.linspace(0, 100, n)
y = 0.5 * np.cumsum(np.random.randn(n))
k = 5 # 5th degree spline
s = n - np.sqrt(2*n) # smoothing factor
spline_0 = UnivariateSpline(x, y, k=k, s=s)
spline_1 = UnivariateSpline(x, y, k=k, s=s).derivative(n=1)
spline_2 = UnivariateSpline(x, y, k=k, s=s).derivative(n=2)
# plot data, spline fit, and derivatives
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(x, y, 'ko', ms=2, label='data')
ax.plot(x, spline_0(x), 'k', label='5th deg spline')
ax.plot(x, spline_1(x), 'r', label='1st order derivative')
ax.plot(x, spline_2(x), 'g', label='2nd order derivative')
ax.legend(loc='best')
ax.grid()
注意一阶导数（红色曲线）在样条拟合（黑色曲线）的波峰和波谷处的零交叉。
FastFD 可以帮助：
pip install fastfd
基本文档可在此处找到：
https://github.com/stefanmeili/FastFD
和这里：
https://github.com/stefanmeili/FastFD/tree/main/docs/examples