logic - 有效性和可满足性

Question

我在理解有效性和可满足性之间的区别时遇到问题。鉴于以下情况：

(i) 对于所有 F，F 是可满足的或~F 是可满足的。

(ii) 对于所有 F，F 有效或~F 有效。

如何证明哪个是真的，哪个是假的？

陈述 (i) 为真，对于所有 F，F 要么是可满足的，要么~F 将是可满足的（真值表）。但是，我该如何解决语句（ii）？

非常感谢任何帮助！

Answer 1

Aprilrocks92，

我不怪你感到困惑，因为实际上逻辑学家，数学家，甚至那些哲学家类型有时也会以不同的方式使用有效性这个词。

尽量不要过于复杂，我会给你一个简单的定义：只要前提为真，当它为真时，一个结论是否有效。我们还说，给定一个适当定义的逻辑，结论作为前提的“逻辑结果”得出。

另一方面，可满足性意味着公式 F 中存在非逻辑符号的估值，使得公式在逻辑上为真。

所以我可能应该提到语义和语法之间的区别来解释。您的逻辑的语法是所有那些逻辑和非逻辑符号，以及使您能够在逻辑中向证明迈出“步骤”的演绎规则。我上面对可满足性的定义提到了“估值”这个词——现在它是如何适应的？答案是你需要提供一个语义：简而言之，这是逻辑公式所表达的结构，通常在集合论中给出，给定 F 的估值是一个映射所有非逻辑的函数F 中的符号到集合和集合的成员，给定的逻辑语义组成一个真值。

唔。我不确定这是最好的解释，但我没有太多时间。

无论哪种方式，这应该可以帮助您了解差异。要回答您关于 (i) 和 (ii) 之间区别的问题，但不要透露太多，请思考：两者之间的关系是什么？好吧，鉴于上面的 F' 是真的，给定一个将句子发送为真的估值。所以你可以“重写”我对有效性的定义：一个结论是有效的，只要前提是可满足的，则结论是可满足的。

现在，关于你证明这些事情的要求，我强烈怀疑你有更多关于你没有告诉我们的逻辑的背景，你的老师或教科书已经暗示了一个背景来回答这些问题，正如实际采取的那样一般来说，您的问题并不完全有意义。