我有这个练习项目，允许用户在用手指触摸时在屏幕上绘图。我做的非常简单的应用程序作为锻炼方式。我的小表弟在这个应用程序上用我的 iPad 随意用手指画东西（儿童画：圆圈、线条等，无论他想到什么）。然后他开始画圆，然后他让我把它做成一个“好圆”（根据我的理解：把画的圆画成完美的圆，因为我们知道无论我们用手指在屏幕上画的东西有多稳定，一个圆圈从来没有真正像一个圆圈那样圆）。
所以我的问题是，在代码中是否有任何方法可以首先检测用户绘制的形成一个圆圈的线，并通过使其在屏幕上完美地变圆来生成大致相同大小的圆圈。让一条不太直线的直线是我知道该怎么做的，但至于圆，我不太知道如何用 Quartz 或其他方法去做。
我的推理是，在用户抬起手指后，线的起点和终点必须相互接触或交叉，以证明他实际上是在画一个圆。
有时花一些时间重新发明轮子真的很有用。您可能已经注意到有很多框架，但是在不引入所有复杂性的情况下实现一个简单但有用的解决方案并不难。（请不要误会我的意思，出于任何严肃的目的，最好使用一些成熟且被证明是稳定的框架）。
我将首先介绍我的结果，然后解释它们背后简单明了的想法。
您会在我的实现中看到，无需分析每个点并进行复杂的计算。这个想法是发现一些有价值的元信息。我将以切线为例：
让我们确定一个简单直接的模式，典型的选定形状：
所以基于这个想法来实现一个圆检测机制并不难。请参阅下面的工作演示（抱歉，我使用 Java 作为提供这个快速且有点脏的示例的最快方法）：
import java.awt.BasicStroke;
import java.awt.Color;
import java.awt.Dimension;
import java.awt.Graphics;
import java.awt.Graphics2D;
import java.awt.HeadlessException;
import java.awt.Point;
import java.awt.RenderingHints;
import java.awt.event.MouseEvent;
import java.awt.event.MouseListener;
import java.awt.event.MouseMotionListener;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import javax.swing.JFrame;
import javax.swing.SwingUtilities;
public class CircleGestureDemo extends JFrame implements MouseListener, MouseMotionListener {
enum Type {
RIGHT_DOWN,
LEFT_DOWN,
LEFT_UP,
RIGHT_UP,
UNDEFINED
}
private static final Type[] circleShape = {
Type.RIGHT_DOWN,
Type.LEFT_DOWN,
Type.LEFT_UP,
Type.RIGHT_UP};
private boolean editing = false;
private Point[] bounds;
private Point last = new Point(0, 0);
private List<Point> points = new ArrayList<>();
public CircleGestureDemo() throws HeadlessException {
super("Detect Circle");
addMouseListener(this);
addMouseMotionListener(this);
setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);
setPreferredSize(new Dimension(800, 600));
pack();
}
@Override
public void paint(Graphics graphics) {
Dimension d = getSize();
Graphics2D g = (Graphics2D) graphics;
super.paint(g);
RenderingHints qualityHints = new RenderingHints(RenderingHints.KEY_ANTIALIASING, RenderingHints.VALUE_ANTIALIAS_ON);
qualityHints.put(RenderingHints.KEY_RENDERING, RenderingHints.VALUE_RENDER_QUALITY);
g.setRenderingHints(qualityHints);
g.setColor(Color.RED);
if (cD == 0) {
Point b = null;
for (Point e : points) {
if (null != b) {
g.drawLine(b.x, b.y, e.x, e.y);
}
b = e;
}
}else if (cD > 0){
g.setColor(Color.BLUE);
g.setStroke(new BasicStroke(3));
g.drawOval(cX, cY, cD, cD);
}else{
g.drawString("Uknown",30,50);
}
}
private Type getType(int dx, int dy) {
Type result = Type.UNDEFINED;
if (dx > 0 && dy < 0) {
result = Type.RIGHT_DOWN;
} else if (dx < 0 && dy < 0) {
result = Type.LEFT_DOWN;
} else if (dx < 0 && dy > 0) {
result = Type.LEFT_UP;
} else if (dx > 0 && dy > 0) {
result = Type.RIGHT_UP;
}
return result;
}
private boolean isCircle(List<Point> points) {
boolean result = false;
Type[] shape = circleShape;
Type[] detected = new Type[shape.length];
bounds = new Point[shape.length];
final int STEP = 5;
int index = 0;
Point current = points.get(0);
Type type = null;
for (int i = STEP; i < points.size(); i += STEP) {
Point next = points.get(i);
int dx = next.x - current.x;
int dy = -(next.y - current.y);
if(dx == 0 || dy == 0) {
continue;
}
Type newType = getType(dx, dy);
if(type == null || type != newType) {
if(newType != shape[index]) {
break;
}
bounds[index] = current;
detected[index++] = newType;
}
type = newType;
current = next;
if (index >= shape.length) {
result = true;
break;
}
}
return result;
}
@Override
public void mousePressed(MouseEvent e) {
cD = 0;
points.clear();
editing = true;
}
private int cX;
private int cY;
private int cD;
@Override
public void mouseReleased(MouseEvent e) {
editing = false;
if(points.size() > 0) {
if(isCircle(points)) {
cX = bounds[0].x + Math.abs((bounds[2].x - bounds[0].x)/2);
cY = bounds[0].y;
cD = bounds[2].y - bounds[0].y;
cX = cX - cD/2;
System.out.println("circle");
}else{
cD = -1;
System.out.println("unknown");
}
repaint();
}
}
@Override
public void mouseDragged(MouseEvent e) {
Point newPoint = e.getPoint();
if (editing && !last.equals(newPoint)) {
points.add(newPoint);
last = newPoint;
repaint();
}
}
@Override
public void mouseMoved(MouseEvent e) {
}
@Override
public void mouseEntered(MouseEvent e) {
}
@Override
public void mouseExited(MouseEvent e) {
}
@Override
public void mouseClicked(MouseEvent e) {
}
public static void main(String[] args) {
SwingUtilities.invokeLater(new Runnable() {
@Override
public void run() {
CircleGestureDemo t = new CircleGestureDemo();
t.setVisible(true);
}
});
}
}
在 iOS 上实现类似的行为应该不是问题，因为您只需要几个事件和坐标。类似于以下内容（参见示例）：
- (void)touchesBegan:(NSSet *)touches withEvent:(UIEvent *)event {
UITouch* touch = [[event allTouches] anyObject];
}
- (void)handleTouch:(UIEvent *)event {
UITouch* touch = [[event allTouches] anyObject];
CGPoint location = [touch locationInView:self];
}
- (void)touchesMoved:(NSSet *)touches withEvent:(UIEvent *)event {
[self handleTouch: event];
}
- (void)touchesEnded:(NSSet *)touches withEvent:(UIEvent *)event {
[self handleTouch: event];
}
有几种可能的增强功能。
从任何时候开始
由于以下简化，当前要求是从顶部中间点开始画一个圆：
if(type == null || type != newType) {
if(newType != shape[index]) {
break;
}
bounds[index] = current;
detected[index++] = newType;
}
请注意使用默认值index。通过形状的可用“部分”进行简单搜索将消除该限制。请注意，您需要使用循环缓冲区来检测完整的形状：
顺时针和逆时针
为了支持这两种模式，您需要使用先前增强中的循环缓冲区并在两个方向上搜索：
画一个椭圆
您已经在bounds阵列中拥有了所需的一切。
只需使用该数据：
cWidth = bounds[2].y - bounds[0].y;
cHeight = bounds[3].y - bounds[1].y;
其他手势（可选）
最后，您只需要正确处理dx（或dy）等于零的情况，以支持其他手势：
更新
这个小PoC得到了相当高的关注，所以我确实更新了一些代码以使其运行顺畅并提供一些绘图提示，突出支持点等：
这是代码：
import java.awt.BasicStroke;
import java.awt.BorderLayout;
import java.awt.Color;
import java.awt.Dimension;
import java.awt.Graphics;
import java.awt.Graphics2D;
import java.awt.HeadlessException;
import java.awt.Point;
import java.awt.RenderingHints;
import java.awt.event.MouseEvent;
import java.awt.event.MouseListener;
import java.awt.event.MouseMotionListener;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import javax.swing.JFrame;
import javax.swing.JPanel;
import javax.swing.SwingUtilities;
public class CircleGestureDemo extends JFrame {
enum Type {
RIGHT_DOWN,
LEFT_DOWN,
LEFT_UP,
RIGHT_UP,
UNDEFINED
}
private static final Type[] circleShape = {
Type.RIGHT_DOWN,
Type.LEFT_DOWN,
Type.LEFT_UP,
Type.RIGHT_UP};
public CircleGestureDemo() throws HeadlessException {
super("Circle gesture");
setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);
setLayout(new BorderLayout());
add(BorderLayout.CENTER, new GesturePanel());
setPreferredSize(new Dimension(800, 600));
pack();
}
public static class GesturePanel extends JPanel implements MouseListener, MouseMotionListener {
private boolean editing = false;
private Point[] bounds;
private Point last = new Point(0, 0);
private final List<Point> points = new ArrayList<>();
public GesturePanel() {
super(true);
addMouseListener(this);
addMouseMotionListener(this);
}
@Override
public void paint(Graphics graphics) {
super.paint(graphics);
Dimension d = getSize();
Graphics2D g = (Graphics2D) graphics;
RenderingHints qualityHints = new RenderingHints(RenderingHints.KEY_ANTIALIASING,
RenderingHints.VALUE_ANTIALIAS_ON);
qualityHints.put(RenderingHints.KEY_RENDERING, RenderingHints.VALUE_RENDER_QUALITY);
g.setRenderingHints(qualityHints);
if (!points.isEmpty() && cD == 0) {
isCircle(points, g);
g.setColor(HINT_COLOR);
if (bounds[2] != null) {
int r = (bounds[2].y - bounds[0].y) / 2;
g.setStroke(new BasicStroke(r / 3 + 1));
g.drawOval(bounds[0].x - r, bounds[0].y, 2 * r, 2 * r);
} else if (bounds[1] != null) {
int r = bounds[1].x - bounds[0].x;
g.setStroke(new BasicStroke(r / 3 + 1));
g.drawOval(bounds[0].x - r, bounds[0].y, 2 * r, 2 * r);
}
}
g.setStroke(new BasicStroke(2));
g.setColor(Color.RED);
if (cD == 0) {
Point b = null;
for (Point e : points) {
if (null != b) {
g.drawLine(b.x, b.y, e.x, e.y);
}
b = e;
}
} else if (cD > 0) {
g.setColor(Color.BLUE);
g.setStroke(new BasicStroke(3));
g.drawOval(cX, cY, cD, cD);
} else {
g.drawString("Uknown", 30, 50);
}
}
private Type getType(int dx, int dy) {
Type result = Type.UNDEFINED;
if (dx > 0 && dy < 0) {
result = Type.RIGHT_DOWN;
} else if (dx < 0 && dy < 0) {
result = Type.LEFT_DOWN;
} else if (dx < 0 && dy > 0) {
result = Type.LEFT_UP;
} else if (dx > 0 && dy > 0) {
result = Type.RIGHT_UP;
}
return result;
}
private boolean isCircle(List<Point> points, Graphics2D g) {
boolean result = false;
Type[] shape = circleShape;
bounds = new Point[shape.length];
final int STEP = 5;
int index = 0;
int initial = 0;
Point current = points.get(0);
Type type = null;
for (int i = STEP; i < points.size(); i += STEP) {
final Point next = points.get(i);
final int dx = next.x - current.x;
final int dy = -(next.y - current.y);
if (dx == 0 || dy == 0) {
continue;
}
final int marker = 8;
if (null != g) {
g.setColor(Color.BLACK);
g.setStroke(new BasicStroke(2));
g.drawOval(current.x - marker/2,
current.y - marker/2,
marker, marker);
}
Type newType = getType(dx, dy);
if (type == null || type != newType) {
if (newType != shape[index]) {
break;
}
bounds[index++] = current;
}
type = newType;
current = next;
initial = i;
if (index >= shape.length) {
result = true;
break;
}
}
return result;
}
@Override
public void mousePressed(MouseEvent e) {
cD = 0;
points.clear();
editing = true;
}
private int cX;
private int cY;
private int cD;
@Override
public void mouseReleased(MouseEvent e) {
editing = false;
if (points.size() > 0) {
if (isCircle(points, null)) {
int r = Math.abs((bounds[2].y - bounds[0].y) / 2);
cX = bounds[0].x - r;
cY = bounds[0].y;
cD = 2 * r;
} else {
cD = -1;
}
repaint();
}
}
@Override
public void mouseDragged(MouseEvent e) {
Point newPoint = e.getPoint();
if (editing && !last.equals(newPoint)) {
points.add(newPoint);
last = newPoint;
repaint();
}
}
@Override
public void mouseMoved(MouseEvent e) {
}
@Override
public void mouseEntered(MouseEvent e) {
}
@Override
public void mouseExited(MouseEvent e) {
}
@Override
public void mouseClicked(MouseEvent e) {
}
}
public static void main(String[] args) {
SwingUtilities.invokeLater(new Runnable() {
@Override
public void run() {
CircleGestureDemo t = new CircleGestureDemo();
t.setVisible(true);
}
});
}
final static Color HINT_COLOR = new Color(0x55888888, true);
}
用于检测形状的经典计算机视觉技术是霍夫变换。霍夫变换的优点之一是它对部分数据、不完美数据和噪声非常宽容。使用霍夫圆： http ://en.wikipedia.org/wiki/Hough_transform#Circle_detection_process
鉴于您的圆圈是手绘的，我认为霍夫变换可能非常适合您。
这是一个“简化”的解释，我很抱歉它并不是那么简单。其中大部分来自我多年前所做的一个学校项目。
霍夫变换是一种投票方案。分配了一个二维整数数组，所有元素都设置为零。每个元素对应于正在分析的图像中的单个像素。这个数组被称为累加器数组，因为每个元素都会累积信息、投票，指示像素可能位于圆或弧的原点的可能性。
将梯度算子边缘检测器应用于图像并记录边缘像素或边缘。边缘是相对于它的邻居具有不同强度或颜色的像素。差异程度称为梯度幅度。对于每个足够大的边，应用一个投票方案，该方案将增加累加器数组的元素。被增加（投票）的元素对应于通过考虑中的边缘的圆的可能原点。期望的结果是，如果存在弧，则真实起源将获得比虚假起源更多的选票。
请注意，被访问以进行投票的累加器数组的元素围绕正在考虑的边缘形成一个圆圈。计算要投票的 x,y 坐标与计算您正在绘制的圆的 x,y 坐标相同。
在您的手绘图像中，您可以直接使用集合（彩色）像素，而不是计算边缘。
现在，对于定位不完美的像素，您不一定会获得具有最多票数的单个累加器数组元素。你可能会得到一个带有一堆选票的相邻数组元素的集合，一个簇。该集群的重心可以为原点提供一个很好的近似值。
请注意，您可能必须针对半径 R 的不同值运行霍夫变换。产生更密集的选票簇的那个是“更好”的拟合。
有多种技术可用于减少对虚假来源的投票。例如，使用边缘的一个优点是它们不仅具有大小，而且还具有方向。投票时，我们只需要对适当方向的可能来源进行投票。接受投票的地点将形成一个弧形而不是一个完整的圆圈。
这是一个例子。我们从一个半径为 1 的圆和一个初始化的累加器数组开始。由于每个像素都被认为是潜在的来源，因此被投票选出。真实来源获得最多票数，在这种情况下为四票。
. empty pixel
X drawn pixel
* drawn pixel currently being considered
. . . . . 0 0 0 0 0
. . X . . 0 0 0 0 0
. X . X . 0 0 0 0 0
. . X . . 0 0 0 0 0
. . . . . 0 0 0 0 0
. . . . . 0 0 0 0 0
. . X . . 0 1 0 0 0
. * . X . 1 0 1 0 0
. . X . . 0 1 0 0 0
. . . . . 0 0 0 0 0
. . . . . 0 0 0 0 0
. . X . . 0 1 0 0 0
. X . X . 1 0 2 0 0
. . * . . 0 2 0 1 0
. . . . . 0 0 1 0 0
. . . . . 0 0 0 0 0
. . X . . 0 1 0 1 0
. X . * . 1 0 3 0 1
. . X . . 0 2 0 2 0
. . . . . 0 0 1 0 0
. . . . . 0 0 1 0 0
. . * . . 0 2 0 2 0
. X . X . 1 0 4 0 1
. . X . . 0 2 0 2 0
. . . . . 0 0 1 0 0
这是另一种方式。使用 UIView touchesBegan、touchesMoved、touchesEnded 并向数组添加点。您将阵列分成两半，并测试一个阵列中的每个点与另一个阵列中的对应点的直径是否与所有其他对的直径大致相同。
NSMutableArray * pointStack;
- (void)touchesBegan:(NSSet *)touches withEvent:(UIEvent *)event
{
// Detect touch anywhere
UITouch *touch = [touches anyObject];
pointStack = [[NSMutableArray alloc]init];
CGPoint touchDownPoint = [touch locationInView:touch.view];
[pointStack addObject:touchDownPoint];
}
/**
*
*/
- (void)touchesMoved:(NSSet *)touches withEvent:(UIEvent *)event
{
UITouch* touch = [touches anyObject];
CGPoint touchDownPoint = [touch locationInView:touch.view];
[pointStack addObject:touchDownPoint];
}
/**
* So now you have an array of lots of points
* All you have to do is find what should be the diameter
* Then compare opposite points to see if the reach a similar diameter
*/
- (void)touchesEnded:(NSSet *)touches withEvent:(UIEvent *)event
{
uint pointCount = [pointStack count];
//assume the circle was drawn a constant rate and the half way point will serve to calculate or diameter
CGPoint startPoint = [pointStack objectAtIndex:0];
CGPoint halfWayPoint = [pointStack objectAtIndex:floor(pointCount/2)];
float dx = startPoint.x - halfWayPoint.x;
float dy = startPoint.y - halfWayPoint.y;
float diameter = sqrt((dx*dx) + (dy*dy));
bool isCircle = YES;// try to prove false!
uint indexStep=10; // jump every 10 points, reduce to be more granular
// okay now compare matches
// e.g. compare indexes against their opposites and see if they have the same diameter
//
for (uint i=indexStep;i<floor(pointCount/2);i+=indexStep)
{
CGPoint testPointA = [pointStack objectAtIndex:i];
CGPoint testPointB = [pointStack objectAtIndex:floor(pointCount/2)+i];
dx = testPointA.x - testPointB.x;
dy = testPointA.y - testPointB.y;
float testDiameter = sqrt((dx*dx) + (dy*dy));
if(testDiameter>=(diameter-10) && testDiameter<=(diameter+10)) // +/- 10 ( or whatever degree of variance you want )
{
//all good
}
else
{
isCircle=NO;
}
}//end for loop
NSLog(@"iCircle=%i",isCircle);
}
那声音好吗？:)
我不是形状识别专家，但这是我可能解决问题的方法。
首先，在徒手显示用户路径的同时，偷偷地累积一个点 (x, y) 样本的列表以及时间。您可以从拖动事件中获取这两个事实，将它们包装到一个简单的模型对象中，然后将它们堆积在一个可变数组中。
您可能希望相当频繁地采集样本——例如，每 0.1 秒一次。另一种可能性是开始非常频繁，可能每 0.05 秒一次，然后观察用户拖动多长时间；如果它们拖动的时间超过一定时间，则将采样频率（并丢弃任何可能丢失的采样）降低到 0.2 秒左右。
（不要把我的数字当作福音，因为我只是把它们从我的帽子里拿出来。试验并找到更好的值。）
其次，分析样品。
您需要得出两个事实。首先，形状的中心，它（IIRC）应该只是所有点的平均值。其次，每个样本距该中心的平均半径。
如果，正如@user1118321 所猜测的那样，您想要支持多边形，那么分析的其余部分包括做出决定：用户是想要画一个圆还是一个多边形。您可以将样本视为一个多边形来开始进行确定。
您可以使用几个标准：
第三步也是最后一步是创建形状，以先前确定的中心点为中心，具有先前确定的半径。
不能保证我上面所说的任何事情都会有效或有效，但我希望它至少能让你走上正确的轨道——如果有人比我更了解形状识别（这是一个非常低的标准），请看到对此，请随时发表评论或您自己的答案。
一旦您确定用户在他们开始的地方完成了他们的形状绘制，您可以对他们绘制的坐标进行采样，并尝试将它们拟合成一个圆。
这个问题有一个 MATLAB 解决方案：http: //www.mathworks.com.au/matlabcentral/fileexchange/15060-fitcircle-m
它基于Walter Gander、Gene H. Golub 和 Rolf Strebel 的圆和椭圆的最小二乘拟合： http ://www.emis.de/journals/BBMS/Bulletin/sup962/gander.pdf
新西兰坎特伯雷大学的 Ian Coope 博士发表了一篇带有摘要的论文：
确定平面中一组点的最佳拟合圆的问题（或对 n 维的明显推广）很容易被表述为非线性总最小二乘问题，可以使用高斯-牛顿最小化算法来解决。这种直截了当的方法被证明效率低下，并且对异常值的存在极为敏感。另一种公式允许将问题简化为可以轻松解决的线性最小二乘问题。与非线性最小二乘法相比，推荐的方法显示出对异常值不太敏感的额外优势。
http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF00939613
MATLAB 文件可以计算非线性 TLS 和线性 LLS 问题。
我很幸运地使用了一个训练有素的 1 美元识别器（http://depts.washington.edu/aimgroup/proj/dollar/）。我将它用于圆形、线条、三角形和正方形。
很久以前，在 UIGestureRecognizer 之前，但我认为创建适当的 UIGestureRecognizer 子类应该很容易。
这是一个相当简单的使用方法：
- (UIView *)hitTest:(CGPoint)point withEvent:(UIEvent *)event
假设这个矩阵网格：
A B C D E F G H
1 X X
2 X X
3 X X
4 X X
5 X X
6 X X
7
8
将一些 UIViews 放在“X”位置并测试它们是否被命中（按顺序）。如果他们都按顺序被击中，我认为让用户说“做得好，你画了一个圆圈”可能是公平的
听起来不错？（而且很简单）
用户触摸的像素是 xy 坐标的集合。Ian Coope 在这里提出了一种用于非迭代拟合圆的线性最小二乘算法：https ://ir.canterbury.ac.nz/handle/10092/11104 。这个想法是使用变量的简单变化来线性化拟合。
我做了一个简单的python实现，在这里描述：https ://scikit-guess.readthedocs.io/en/latest/generated/skg.nsphere_fit.html 。
您可以在 GitHub 上找到源代码：https ://github.com/madphysicist/scikit-guess/blob/master/src/skg/nsphere.py 。由于该函数只有大约 20 行长，因此只要您可以访问一个允许您反转矩阵的库，您就可以毫不费力地将它翻译成您选择的语言。实际上，这里描述的问题只需要反转一个 3x3 矩阵，您可以通过算术运算手动完成。
这是一个特定于 2D 案例的简单 Java 实现。我没有包括缩放，这对于生产应用程序或者如果您有大量像素可能是一个好主意，但这是一个非常简单的预处理和后处理步骤，留给读者作为练习：
// This is just a container for the result for the example.
// Make it proper with getters and setters if you like.
public class Circle
{
public final double radius;
public final double x;
public final double y;
public Circle(double radius, double x, double y)
{
this.radius = radius;
this.x = x;
this.y = y;
}
public static fit(int[] x, int[] y)
{
// exercise for the reader: check that x.length == y.length
// To solve b * x = d in terms of least-squares projection
// 1. bT * b * x = bT * y
// 2. x = inv(bT * b) * bT * d
// Matrix b[i] = [x[i], y[i], 1]
// Vector d[i] = [x[i]*x[i] + y[i]*y[i]]
long[][] bTb = new long[3][3] = {{0L, 0L, 0L},
{0L, 0L, 0L},
{0L, 0L, 0L}};
long[] bTd = new long[3] {0L, 0L, 0L};
for(int i = 0; i < x.length; i++) {
long x2 = x[i] * x[i];
long y2 = y[i] * y[i];
long xy = x[i] * y[i];
bTb[0][0] += x2;
bTb[0][1] += xy;
bTb[1][0] += xy;
bTb[1][1] += y2;
bTb[0][2] += x[i];
bTb[2][0] += x[i];
bTb[1][2] += y[i];
bTb[2][1] += y[i];
bTb[2][2] += 1L;
long d = x2 + y2;
bTd[0] += x[i] * d;
bTd[1] += y[i] * d;
bTd[2] += d;
}
// invert the matrix, e.g.: https://www.wikihow.com/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix
double det_bTb =
bTb[0][0] * (bTb[1][1] * bTb[2][2] - bTb[2][1] * bTb[1][2]) -
bTb[0][1] * (bTb[1][0] * bTb[2][2] - bTb[2][0] * bTb[1][2]) +
bTb[0][2] * (bTb[1][0] * bTb[2][1] - bTb[2][0] * bTb[1][1]);
// exercise for reader: check if determinant is zero
double[][] inv_bTb = new double[3][3];
inv_bTb[0][0] = (double)(bTb[1][1] * bTb[2][2] - bTb[1][2] * bTb[2][1]) / det_bTb;
inv_bTb[0][1] = (double)(bTb[0][2] * bTb[2][1] - bTb[0][1] * bTb[2][2]) / det_bTb;
inv_bTb[0][2] = (double)(bTb[0][1] * bTb[1][2] - bTb[0][2] * bTb[1][1]) / det_bTb;
inv_bTb[1][0] = (double)(bTb[2][0] * bTb[1][2] - bTb[1][0] * bTb[2][2]) / det_bTb;
inv_bTb[1][1] = (double)(bTb[0][0] * bTb[2][2] - bTb[2][0] * bTb[0][2]) / det_bTb;
inv_bTb[1][2] = (double)(bTb[1][0] * bTb[0][2] - bTb[0][0] * bTb[1][2]) / det_bTb;
inv_bTb[2][0] = (double)(bTb[1][0] * bTb[2][1] - bTb[2][0] * bTb[1][1]) / det_bTb;
inv_bTb[2][1] = (double)(bTb[2][0] * bTb[0][1] - bTb[0][0] * bTb[2][1]) / det_bTb;
inv_bTb[2][2] = (double)(bTb[0][0] * bTb[1][1] - bTb[0][1] * bTb[1][0]) / det_bTb;
double[] result = new double[3] {
bTd[0] * inv_bTb[0][0] + bTd[1] * inv_bTb[0][1] + bTd[2] * inv_bTb[0][2],
bTd[0] * inv_bTb[1][0] + bTd[1] * inv_bTb[1][1] + bTd[2] * inv_bTb[1][2],
bTd[0] * inv_bTb[2][0] + bTd[1] * inv_bTb[2][1] + bTd[2] * inv_bTb[2][2]
};
return new Circle(Math.sqrt(result[2] +
0.25 * result[0] * result[0] +
0.25 * result[1] * result[1]),
0.5 * result[0], 0.5 * result[1]);
}
}
这是我制作的手绘圆的示例，当传入所有黑色像素的坐标时，此解决方案的拟合效果：
