floating-point - 机器 epsilon，ε：从 1 到下一个较小值的步长是多少？

Question

我们知道机器 epsilon ε 是“1 与在给定浮点类型中可表示的大于 1 的最小值之间的差”。¹

但是，该定义没有说明下一个较小的值。1 和下一个较小的值有什么区别？

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笔记

¹ ISO/IEC C 2011 标准，第 5.2.4.2.2 节，第 13 段（对浮点数不具有权威性，但机器 epsilon 的常见描述的一个示例）。

Answer 1

不。

1-ε/2 是小于 1 的最大数。1+ε 是大于 1 的最小数。

归一化浮点数的有效数字始终在 [1,2) 范围内。因此，要表示 [0.5,1) 范围内的数字，指数为 -1，LSB 为原来的一半。

所以在二进制中，1 + ε 类似于：

1 + ε = 1.000...0001 ⨯ 2 ⁰

您可以看到 1 和 1 + ε 之间没有数字，这与 ε 的定义相匹配。

但是 1 - ε 类似于：

1 - ε = 1.111...1110 ⨯ 2 ^-1

所以在 1 - ε 和 1 之间只有一个数，即 1 - ε/2。