combinations - 在排列和组合方面需要帮助..想知道这个公式吗？

Question

魔法师梅格有些疑惑。她养了三只白兔，两只黑兔和一只绿兔。她希望它们排成一条漂亮的线，两只相同颜色的兔子永远不会直接相邻。有多少这样的行。您可以假设相同颜色的兔子是相同的。

Answer 1

我将用 W、W、W、B、B 和 G 表示每种颜色的兔子。

首先请注意，您最多将有 binomial(6, 3)×binomial(3, 2)×binomial(1, 1) = 60 个这样的对齐方式。由于这不是一个很大的数字，而且“不是两只同色的兔子并排”的约束非常强（因为一半的兔子已经共享完全相同的颜色！），让我们尝试枚举所有这些正确的行。

首先，您有一条线，其中一条白兔位于一条且仅一条线的边缘。这意味着这条线必须看起来像（假设白兔开始这条线）W _ W _ W _，就是这样。现在您可以根据需要用剩余的兔子填充空白点，并且所有颜色都将满足约束。您有 3 种不同的方式来填充空白点，因此有3 种这样的对齐方式。通过对称性，白兔可以结束行而不是开始行（这样的对齐是排他的），因此还有 3 个对齐。

现在，请注意，您不能在行的开头和结尾都没有白兔的行（因为您将被迫将两只白兔放在行的中间附近）。

最后一种情况是如果你有一只白兔开始和结束这条线。再一次，通过对称，线看起来像 W _ W _ _ W。你必须用黑兔和绿兔填充空白空间，并限制两只黑兔不能在中间 _ 位置. 你只有两个这样的馅料。通过对称性，您还有2 个这样的对齐方式（使用 W _ _ W _ W）。

总共，您只有10 种可能的对齐方式（在 60 种可能的对齐方式中，没有任何限制）。