haskell - Haskell 元组函数组合

Question

我已经从 Richard Bird 的使用 Haskell 的 Introduction to FP 开始学习 Haskell，但我坚持证明以下几点：

pair (f, g) . h = pair (f . h, g . h)

对的定义如下：

pair :: (a -> b, a -> c) -> a -> (b, c)
pair (f, g) x = (f x, g x)

有人能指出我正确的方向吗？请记住，我只是在开始。提前致谢！

Answer 1

一种方法是扩展所有定义。记住f . g = \x -> f (g x)和f a b = ...是一样的f a = \b -> ...。

所以你可以尝试扩展pair和.的定义pair (f, g) . h = pair (f . h, g . h)

Answer 2

您可以使用extensionality，即，如果两个函数在作用于任何x时给出相同的结果，那么它们被认为是相同的（作为纯函数 - 它们可能具有不同的代码，因此可能具有不同的时间/空间使用）。

因此，在这种情况下，您可以采用您要证明的等式，在适当类型的某个x上对每一边采取行动，并表明您在两种情况下都获得了相同的结果。

Answer 3

小心，剧透！我将在下面解释完整的证明，如果您想自己尝试，请遵循@nponeccop 的建议并尝试扩展您的函数调用；）

证明

知道：

f . g = \x -> f (g x)

pair :: (a -> b, a -> c) -> a -> (b, c)
pair (f, g) x = (f x, g x)

并且中缀组合运算符.的优先级低于函数应用程序，您可以计算出以下内容：

  pair (f, g) . h
= (pair (f, g)) . h            -- explicit precedence
= \x -> (pair (f, g)) (h x)    -- expanding the composition operator
= \x -> (f (h x), g (h x))     -- expanding 'pair'
= \x -> ((f . h) x, (g . h) x) -- using the composition operator
= \x -> pair (f . h, g . h) x  -- back to 'pair'
= pair (f . h, g . h)

QED 如果我没有发出嘘声......希望这会有所帮助！