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我有一个多面体，有一个顶点列表 ( v) 和曲面 ( s)。如何将这个多面体分解成一系列四面体？

我特别想知道是否有任何内置的 MATLAB 命令。

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对于凸面情况（表面没有凹痕导致表面相互覆盖）和三角形网格，简单的解决方案是计算多面体的中心，然后将每个面的三个角与新的中心连接起来。

如果您没有三角形网格，那么您必须首先进行三角测量。Delaunay三角测量可能会有所帮助。

如果有洞或洞穴，这可以任意复杂。

于 2009-12-03T08:49:37.577 回答
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我不确定 OP 想要一个“网格”（添加了施泰纳点）或四面体化（划分为四面体，没有添加施泰纳点）。对于凸多面体，不需要添加施泰纳点（例如“中心”点）。

堆栈溢出不允许我评论 gnovice 的帖子（WTF，SO？），但是“凸多面体的表面是 Delaunay Tesselation 中的约束”语句的证明相当简单：根据定义，单纯形或子单纯形是Delaunay Tesselation 中的一个成员当且仅当存在一个限制单纯形的 n 球体，该单纯形体在点集中严格不包含任何点。对于曲面三角形，构造最小的外接球体，并将其向外“膨胀”，远离多面体，朝向“无穷大”；最终它将不包含其他点。（事实上​​，外接球体的极限是半空间；因此凸包始终是 Delaunay Tesselation 的子集。）

有关 DT 的更多信息，请参见 Okabe 等。al，“空间镶嵌”，或Shewchuk的任何论文

（我的论文是关于这些东西的，但我记得的比我应该的要少……）

于 2009-12-03T17:24:20.343 回答
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我建议尝试内置函数DELAUNAY3。文档链接中给出的示例类似于Aaron 的答案，因为它使用顶点加上多面体的中心点来创建 3-D Delaunay 镶嵌，但shabbychef指出您仍然可以在不包括额外点的情况下创建镶嵌。然后，您可以使用TETRAMESH可视化生成的四面体元素。

您的代码可能看起来像这样（假设v是一个N×3顶点坐标值矩阵）：

v = [v; mean(v)];  %# Add an additional center point, if desired (this code
                   %#   adds the mean of the vertices)
Tes = delaunay3(v(:,1),v(:,2),v(:,3));  %# Create the triangulation
tetramesh(Tes,v);                       %# Plot the tetrahedrons

由于您在评论中说您的多面体是凸面的，因此您不必担心将曲面指定为约束来进行三角剖分（shabbychef似乎给出了比我在下面的评论更严格和更简洁的证明） .

注意：根据文档，Delaunay3 将在未来的版本中被删除，而DelaunayTri将有效地取代它（尽管目前看来定义约束边仍仅限于二维三角剖分）。为了完整起见，以下是使用 DelaunayTri 并可视化凸包（即多面体表面）的方法：

DT = DelaunayTri(v);  %# Using the same variable v as above
tetramesh(DT);        %# Plot the tetrahedrons
figure;               %# Make new figure window
ch = convexHull(DT);  %# Get the convex hull
trisurf(ch,v(:,1),v(:,2),v(:,3),'FaceColor','cyan');  %# Plot the convex hull
于 2009-12-03T15:14:50.263 回答