graphics - 两条线之间的最短距离

Question

假设 L1 和 L2 是 3D 中的两条线，假设 P1 和 P2 分别是 L1、L2 上的两个点。使得距离（P2-P1）是 L1 和 L2 之间的最短距离。矢量（P2-P1）是否需要垂直于 L1 和 L2？如果是这样，那为什么？二维空间也是这样吗？

Answer 1

取函数 L1×L2->\R，对于 L1 和 L2 上的两个点 P 和 Q 分别给出它们之间的平方距离：

f: L1×L2 -> \R
f(P, Q) = d(P, Q)^2 = (Q - P) . (Q - P)

其中(Q - P)是向量， .是标量积。由于函数 f 在 (P1, P2) 处具有最小值，因此差分 df/dP 和 df/dQ 在 (P1, P2) 处为零。更：

df/dP = dP . (Q - P)
df/dQ = dQ . (Q - P)

如果对 (P1, P2) 的这些方程进行评估，其中微分为零，则得出：

DP。(P2 - P1) = 0 dQ 。(P2 - P1) = 0

dPdQ是分别与 L1 和 L2 共线的向量。这两个方程表明，向量必然P2 - P1垂直于 L1 和 L2 的方向向量。

Answer 2

是的，它是真实的。想象这条线，垂直于 L1 和 L2。有两种情况，L1 和 L2 是平行的（这种情况下两者之间的所有垂直线都是等价的，或者它们就像两个螺旋桨安装在同一个轴上，但角度不同。轴（这是唯一的直线）垂直于两个螺旋桨），表示最短距离，因为无论您沿着任一螺旋桨向哪个方向移动，远离轴，您显然都在增加距离，因为任何这样的线将形成一个直角三角形的第三斜边边等于轴本身，另一侧等于沿螺旋桨的运动。

如果你沿着两个螺旋桨移动，很明显，如果你以相反的方向远离轴，你正在增加距离。即使螺旋桨几乎对齐，并且您沿着两个螺旋桨以相同的方向移动，两点之间的线将再次成为直角三角形的斜边，其中一侧是两个螺旋桨的旋转平面之间的距离，另一侧是两个螺旋桨之一的旋转平面中的一条线。