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考虑二维笛卡尔空间中的简单凸多边形。如果给定一个按逆时针方向排序的顶点坐标列表，如下所示[[x0, y0], ..., [xn, yn]]。您如何计算多边形的中心（多边形内与所有顶点等距的点）？

还要考虑第二种情况，即多边形放置在 3D 笛卡尔空间中，并且其法线向量不平行于任何笛卡尔轴。在不旋转多边形的情况下如何计算中心？

我可以阅读 C/C++、Fortran、MATLAB 和 Python，但是任何伪代码也很受欢迎。

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我现在意识到我的问题不是很好。我为此感到抱歉。看来我正在寻找的是多边形的质心（即假设均匀密度和均匀重力场，纸板切口将平衡的点）。

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您对中心的定义通常没有意义。

要查看这一点，只需在平面上绘制三个未对齐的点，然后计算一个唯一的圆通过所有三个点。显然，您的三角形中心必须是该圆的中心。

现在绘制一个不在圆上的第四个点并形成四边多边形。什么是中心？平面上没有与所有顶点等距的点。

还要注意，即使在三角形的情况下，使用与顶点等距的点也可以为您提供远离多边形的点，并且在数值上也是不稳定的（给定任何 ε>0 和 M>0，您始终可以构建一个三角形，其中一个顶点的特定移动距离小于 ε 移动中心的距离大于 M）。

常用的易于计算的“中心”是所有顶点的平均值、边界的平均值、质心，甚至只是轴对齐边界框的中心。但是，如果多边形不是凸的，它们都可能落在多边形之外，但在您的情况下它们可能会起作用。

最简单合理的一个（因为它不依赖于坐标系）是顶点的重心（Python中的代码）：

xc = sum(x for (x, y) in points) / len(points)
yc = sum(y for (x, y) in points) / len(points)

不好的是，仅仅分割多边形的一侧会给你一个不同的中心（换句话说，它取决于顶点而不是多边形所包围的点集）。取决于多边形的最简单的是 IMO 边界的重心：

sx = sy = sL = 0
for i in range(len(points)):   # counts from 0 to len(points)-1
    x0, y0 = points[i - 1]     # in Python points[-1] is last element of points
    x1, y1 = points[i]
    L = ((x1 - x0)**2 + (y1 - y0)**2) ** 0.5
    sx += (x0 + x1)/2 * L
    sy += (y0 + y1)/2 * L
    sL += L
xc = sx / sL
yc = sy / sL

对于他们俩来说，对 3d 的扩展都是微不足道的……只需z使用相同的公式添加即可。

在一般（不一定是凸的，不一定是简单连接的）多边形的情况下，我发现有用但计算起来并不简单的“中心”是距边界最大距离的（一个）内部点（在换句话说，一个“最内在”的点）。

在这种情况下，我采用了离散（位图）表示和高斯距离变换。

于 2013-08-19T05:58:14.723 回答
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首先对于多边形，质心可能并不总是意味着从质心到顶点的等距长度。在大多数情况下，这可能不是真的。话虽如此，您只需找到x坐标的平均值和坐标的平均值即可找到质心y。在 Matlab 中：centroidx = mean(xcoords)和centroidy = mean(ycoords)是质心的坐标。如果您真的需要更多，请参阅此。

于 2013-08-19T03:02:44.167 回答