python - 在python中对不均匀采样的数据进行拉普拉斯算子

Question

我有一堆 x 和 y 值形式的不均匀采样 (1-D) 数据，我想采用拉普拉斯算子。有没有一种简单的方法可以在 numpy/scipy 中做到这一点？

我正在考虑采用梯度的梯度，但这不会引入伪影，即使在均匀采样的数据中也是如此？例如，给定数据0,0,0,4,8,8,8和一维拉普拉斯算子1,-2,1，拉普拉斯算子是0,0,4,0,-4,0,0，但是使用梯度的梯度会产生0,1,2,0,-2,-1,0

Answer 1

获得均匀间隔网格的算子的一种方法[1, -2, 1]是使用前向差分方案计算一阶导数，使用后向差分方案计算第二个导数，反之亦然，因为两者产生相同的结果。因此，对于不均匀的网格，一个不错的选择是双向进行，然后平均结果。

假设我们正在查看一个网格点，该hb网格点在前一个网格点之前，hf在下一个网格点之后：

--+----+----+---
 x-hb  x   x+hb 

如果我没有弄乱我的代数，x那么按照上述平均值计算的拉普拉斯算子将是：

(f(x+hf)*(1+hb/hf) + f(x)(2+hb/hf+hf/hb) + f(x-hb)(1+hf/hb)) / (2*hf*hb)

您可以在一维数组上计算它：

def laplacian(x, y):
    x = np.asarray(x)
    y = np.asarray(y)
    hb = x[1:-1] - x[:-2]
    hf = x[2:] - x[1:-1]
    y_hb = y[:-2]
    y_hf = y[2:]
    hb_hf = hb / hf
    hf_hb = hf / hb
    return (y_hf*(1+hb_hf) - y[1:-1]*(2+hb_hf+hf_hb) +
            y_hb*(1+hf_hb)) / 2 / hb / hf

>>> laplacian(range(7), [0,0,0,4,8,8,8])
array([ 0.,  4.,  0., -4.,  0.])