我正在研究一个Project Euler问题：关于偶数斐波那契数之和的问题。
我的代码：
def Fibonacci(n):
if n == 0:
return 0
elif n == 1:
return 1
else:
return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)
list1 = [x for x in range(39)]
list2 = [i for i in list1 if Fibonacci(i) % 2 == 0]
通过打印 sum(list2) 可以很容易地找到问题的解决方案。但是，想出我猜的 list2 需要花费很多时间。有什么办法可以让这更快吗？还是这样也行……
（问题：通过考虑值不超过四百万的斐波那契数列中的项，找到偶数项的总和。）
是的。原始递归解决方案需要大量时间。这样做的原因是，对于每个计算的数字，它需要多次计算之前的所有数字。看看下面的图片。
它代表Fibonacci(5)用你的函数计算。如您所见，它计算了Fibonacci(2)3 倍的值和Fibonacci(1)5 倍的值。您想要计算的数字越高，情况就会变得越来越糟。
更糟糕的是，对于您在列表中计算的每个斐波那契数，您不会使用您所知道的先前数字来加速计算——您“从头开始”计算每个数字。
有几个选项可以加快速度：
最简单的方法是创建一个斐波那契数字列表，直到您想要的数字。如果你这样做，你可以“自下而上”构建，并且可以重复使用以前的数字来创建下一个。如果您有斐波那契数列[0, 1, 1, 2, 3]，您可以使用该列表中的最后两个数来创建下一个数。
这种方法看起来像这样：
>>> def fib_to(n):
... fibs = [0, 1]
... for i in range(2, n+1):
... fibs.append(fibs[-1] + fibs[-2])
... return fibs
...
然后你可以通过做得到前 20 个斐波那契数
>>> fib_to(20)
[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765]
或者您可以通过执行从前 40 个列表中获取第 17 个斐波那契数
>>> fib_to(40)[17]
1597
存在另一种使其更快的替代方法，但它也有点复杂。由于您的问题是您重新计算已经计算的值，因此您可以选择将已经计算的值保存在 dict 中，并在重新计算之前尝试从中获取它们。这称为记忆。它可能看起来像这样：
>>> def fib(n, computed = {0: 0, 1: 1}):
... if n not in computed:
... computed[n] = fib(n-1, computed) + fib(n-2, computed)
... return computed[n]
这使您可以轻而易举地计算大斐波那契数：
>>> fib(400)
176023680645013966468226945392411250770384383304492191886725992896575345044216019675
这实际上是一种常见的技术，以至于 Python 3 包含一个装饰器来为您执行此操作。我介绍给你，自动记忆！
import functools
@functools.lru_cache(None)
def fib(n):
if n < 2:
return n
return fib(n-1) + fib(n-2)
这与前一个函数的作用几乎相同，但所有的computed东西都由lru_cache装饰器处理。
第三种方法，如 Mitch 所建议的，是只计数而不将中间值保存在列表中。你可以想象做
>>> def fib(n):
... a, b = 0, 1
... for _ in range(n):
... a, b = b, a+b
... return a
如果您的目标是创建斐波那契数列，我不推荐最后两种方法。fib_to(100)将比后者快得多，[fib(n) for n in range(101)]因为使用后者，您仍然会遇到从头开始计算列表中每个数字的问题。
这是一个非常快的算法，它可以比其他答案中提出的简单迭代方法更快地找到第 n 个斐波那契数，但它非常先进：
def fib(n):
v1, v2, v3 = 1, 1, 0 # initialise a matrix [[1,1],[1,0]]
for rec in bin(n)[3:]: # perform fast exponentiation of the matrix (quickly raise it to the nth power)
calc = v2*v2
v1, v2, v3 = v1*v1+calc, (v1+v3)*v2, calc+v3*v3
if rec=='1': v1, v2, v3 = v1+v2, v1, v2
return v2
您可以在此处阅读有关所涉及数学的更多信息。
Python 没有优化尾递归，因此这里介绍的大多数解决方案都会失败，Error: maximum recursion depth exceeded in comparison如果n太大（我的意思是 1000）。
递归限制可以增加，但会导致 Python 在操作系统中堆栈溢出时崩溃。
fib_memo请注意/fib_local和fib_lru/之间的性能差异fib_local_exc：LRU 缓存要慢得多，甚至没有完成，因为它已经在 n = ~500 时产生了运行时错误：
import functools
from time import clock
#import sys
#sys.setrecursionlimit()
@functools.lru_cache(None)
def fib_lru(n):
if n < 2:
return n
return fib_lru(n-1) + fib_lru(n-2)
def fib_memo(n, computed = {0: 0, 1: 1}):
if n not in computed:
computed[n] = fib_memo(n-1, computed) + fib_memo(n-2, computed)
return computed[n]
def fib_local(n):
computed = {0: 0, 1: 1}
def fib_inner(n):
if n not in computed:
computed[n] = fib_inner(n-1) + fib_inner(n-2)
return computed[n]
return fib_inner(n)
def fib_local_exc(n):
computed = {0: 0, 1: 1}
def fib_inner_x(n):
try:
computed[n]
except KeyError:
computed[n] = fib_inner_x(n-1) + fib_inner_x(n-2)
return computed[n]
return fib_inner_x(n)
def fib_iter(n):
a, b = 0, 1
for i in range(n):
a, b = b, a + b
return a
def benchmark(n, *args):
print("-" * 80)
for func in args:
print(func.__name__)
start = clock()
try:
ret = func(n)
#print("Result:", ret)
except RuntimeError as e:
print("Error:", e)
print("Time:", "{:.8f}".format(clock() - start))
print()
benchmark(500, fib_iter, fib_memo, fib_local, fib_local_exc, fib_lru)
结果：
fib_iter
Time: 0.00008168
fib_memo
Time: 0.00048622
fib_local
Time: 0.00044645
fib_local_exc
Time: 0.00146036
fib_lru
Error: maximum recursion depth exceeded in comparison
Time: 0.00112552
n=100k迭代解决方案是迄今为止最快的，即使（0.162 秒）也不会破坏堆栈。它确实不返回中间斐波那契数。
如果要计算第nth 个偶数斐波那契数，可以采用如下迭代方法：
def fib_even_iter(n):
a, b = 0, 1
c = 1
while c < n:
a, b = b, a + b
if a % 2 == 0:
c += 1
return a
或者，如果您对途中的每个偶数感兴趣，请使用生成器：
def fib_even_gen(n):
a, b = 0, 1
c = 1
yield a
while c < n:
a, b = b, a + b
if a % 2 == 0:
yield a
c += 1
return a
for i, f in enumerate(fib_even_gen(100), 1):
print("{:3d}. {:d}".format(i, f))
结果：
1. 0
2. 2
3. 8
4. 34
5. 144
6. 610
7. 2584
8. 10946
9. 46368
10. 196418
11. 832040
12. 3524578
13. 14930352
14. 63245986
15. 267914296
16. 1134903170
17. 4807526976
18. 20365011074
19. 86267571272
20. 365435296162
21. 1548008755920
22. 6557470319842
23. 27777890035288
24. 117669030460994
25. 498454011879264
26. 2111485077978050
27. 8944394323791464
28. 37889062373143906
29. 160500643816367088
30. 679891637638612258
31. 2880067194370816120
32. 12200160415121876738
33. 51680708854858323072
34. 218922995834555169026
35. 927372692193078999176
36. 3928413764606871165730
37. 16641027750620563662096
38. 70492524767089125814114
39. 298611126818977066918552
40. 1264937032042997393488322
41. 5358359254990966640871840
42. 22698374052006863956975682
43. 96151855463018422468774568
44. 407305795904080553832073954
45. 1725375039079340637797070384
46. 7308805952221443105020355490
47. 30960598847965113057878492344
48. 131151201344081895336534324866
49. 555565404224292694404015791808
50. 2353412818241252672952597492098
51. 9969216677189303386214405760200
52. 42230279526998466217810220532898
53. 178890334785183168257455287891792
54. 757791618667731139247631372100066
55. 3210056809456107725247980776292056
56. 13598018856492162040239554477268290
57. 57602132235424755886206198685365216
58. 244006547798191185585064349218729154
59. 1033628323428189498226463595560281832
60. 4378519841510949178490918731459856482
61. 18547707689471986212190138521399707760
62. 78569350599398894027251472817058687522
63. 332825110087067562321196029789634457848
64. 1409869790947669143312035591975596518914
65. 5972304273877744135569338397692020533504
66. 25299086886458645685589389182743678652930
67. 107168651819712326877926895128666735145224
68. 453973694165307953197296969697410619233826
69. 1923063428480944139667114773918309212080528
70. 8146227408089084511865756065370647467555938
71. 34507973060837282187130139035400899082304280
72. 146178119651438213260386312206974243796773058
73. 619220451666590135228675387863297874269396512
74. 2623059926317798754175087863660165740874359106
75. 11111460156937785151929026842503960837766832936
76. 47068900554068939361891195233676009091941690850
77. 199387062373213542599493807777207997205533596336
78. 844617150046923109759866426342507997914076076194
79. 3577855662560905981638959513147239988861837901112
80. 15156039800290547036315704478931467953361427680642
81. 64202014863723094126901777428873111802307548623680
82. 271964099255182923543922814194423915162591622175362
83. 1152058411884454788302593034206568772452674037325128
84. 4880197746793002076754294951020699004973287771475874
85. 20672849399056463095319772838289364792345825123228624
86. 87571595343018854458033386304178158174356588264390370
87. 370959230771131880927453318055001997489772178180790104
88. 1571408518427546378167846658524186148133445300987550786
89. 6656593304481317393598839952151746590023553382130993248
90. 28197781736352815952563206467131172508227658829511523778
91. 119447720249892581203851665820676436622934188700177088360
92. 505988662735923140767969869749836918999964413630219877218
93. 2143402371193585144275731144820024112622791843221056597232
94. 9079598147510263717870894449029933369491131786514446266146
95. 38461794961234640015759308940939757590587318989278841661816
96. 162926777992448823780908130212788963731840407743629812913410
97. 690168906931029935139391829792095612517948949963798093315456
98. 2923602405716568564338475449381171413803636207598822186175234
99. 12384578529797304192493293627316781267732493780359086838016392
100. 52461916524905785334311649958648296484733611329035169538240802
Time: 0.00698620
这是大约 7 毫秒内的前 100 个偶数斐波那契数，包括打印到终端的开销（在 Windows 上很容易低估）。
基于这样一个事实fib(n) = fib(n-1)+fib(n-2)，直接的解决方案是
def fib(n):
if (n <=1):
return(1)
else:
return(fib(n-1)+fib(n-2))
但是，这里的问题是某些值是多次计算的，因此效率非常低。原因可以从这张草图中看出：
本质上，对函数的每个递归调用fib都必须计算所有先前的斐波那契数以供自己使用。因此，计算最多的值将是 fib(1)，因为它必须出现在 @kqr 的答案所示的树的所有叶节点中。该算法的复杂度是树的节点数，即$O(2^n)$。
现在更好的方法是跟踪两个数字，当前值和前一个值，这样每次调用就不必计算所有前一个值。这是草图中的第二个算法，可以如下实现
def fib(n):
if (n==0):
return(0,1)
elif (n==1):
return(1,1)
else:
a,b = fib(n-1)
return(b,a+b)
这个算法的复杂度是线性的$O(n)$，一些例子会是
>>> fib(1)
(1, 1)
>>> fib(2)
(1, 2)
>>> fib(4)
(3, 5)
>>> fib(6)
(8, 13)
我基于维基百科上关于斐波那契数的文章。这个想法是避免循环和递归，并根据需要简单地计算值。
不是数学天才，选择其中一个公式并将其呈现为代码并对其进行调整，直到值正确。
import cmath
def getFib(n):
#Given which fibonacci number we want, calculate its value
lsa = (1 / cmath.sqrt(5)) * pow(((1 + cmath.sqrt(5)) / 2), n)
rsa = (1 / cmath.sqrt(5)) * pow(((1 - cmath.sqrt(5)) / 2), n)
fib = lsa-rsa
#coerce to real so we can round the complex result
fn = round(fib.real)
return fn
#Demo using the function
s = ''
for m in range(0,30):
s = s + '(' + str(m) + ')' + str(getFib(m)) + ' '
print(s)
事实证明，偶数斐波那契数的和有一个很好的递归公式。偶数斐波那契数之和序列中的第 n 项是S_{n} = 4*S_{n-1} + S_{n-2} + 2 证明留给读者，但涉及证明 1) 偶数斐波那契数是每三分之一，2) 使用斐波那契数的定义通过归纳证明上述公式。使用这里的逻辑，我们可以通过一点努力得出一个封闭式公式：
S_{n} = -1/2 + (1/4 + 3*sqrt(5)/20)*(2+sqrt(5))**n + (1/4 - 3*sqrt(5)/20)*(2-sqrt(5))**n
尽管sqrt, 这对于积分来说是积分的n，因此可以使用我之前回答中的方便函数或使用诸如sympy精确处理根之类的包来方便地计算。
import sympy as sp
one = sp.sympify(1) #to force casting to sympy types
k1 = -one/2
k2 = one/4 + 3*sp.sqrt(5)/20
k3 = one/4 - 3*sp.sqrt(5)/20
r1 = one
r2 = 2 + sp.sqrt(5)
r3 = 2 - sp.sqrt(5)
def even_sum_fibo(n):
#get the nth number in the sequence of even sums of Fibonacci numbers. If you want the sum of Fibos up to some number m, use n = m/3 (integer division)
return sp.simplify(k1*r1**n + k2*r2**n + k3*r3**n)
import time
def calculate_fibonacci_1(n):
if n == 0:
return 0
if n == 1:
return 1
return calculate_fibonacci_1(n - 1) + calculate_fibonacci_1(n - 2)
def calculate_fibonacci_2(n):
fib = [0] * n
fib[0] = 1
fib[1] = 1
for i in range(2, n):
fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2]
return fib[n-1]
def calculate_fibonacci_3(n):
a, b = 0, 1
for _ in range(n):
a, b = b, a + b
return a
def calculate_fibonacci_4(n):
v1, v2, v3 = 1, 1, 0
for rec in bin(n)[3:]:
calc = v2*v2
v1, v2, v3 = v1*v1+calc, (v1+v3)*v2, calc+v3*v3
if rec == '1':
v1, v2, v3 = v1+v2, v1, v2
return v2
def calculate_fibonacci_5(n):
if n == 0:
return (0, 1)
else:
a, b = calculate_fibonacci_5(n // 2)
c = a * (b * 2 - a)
d = a * a + b * b
if n % 2 == 0:
return (c, d)
else:
return (d, c + d)
n = 30
start = time.time()
calculate_fibonacci_1(n)
end = time.time()
print(end - start)
start = time.time()
calculate_fibonacci_2(n)
end = time.time()
print(end - start)
start = time.time()
calculate_fibonacci_3(n)
end = time.time()
print(end - start)
start = time.time()
calculate_fibonacci_4(n)
end = time.time()
print(end - start)
start = time.time()
calculate_fibonacci_5(n)
end = time.time()
print(end - start)
对于n=30：
0.264876127243
6.19888305664e-06
8.10623168945e-06
7.15255737305e-06
4.05311584473e-06
对于n=300：
>10s
3.19480895996e-05
1.78813934326e-05
7.15255737305e-06
6.19888305664e-06
对于n=3000：
>10s
0.000766038894653
0.000277996063232
1.78813934326e-05
1.28746032715e-05
对于n=30000：
>10s
0.0550990104675
0.0153529644012
0.000290870666504
0.000216007232666
对于n=300000：
>10s
3.35211610794
0.979753017426
0.012097120285
0.00845909118652
对于n=3000000：
>10s
>10s
>10s
0.466345071793
0.355515003204
对于n=30000000：
>100s
>100s
>100s
16.4943139553
12.6505448818
免责声明：功能代码编号。4和5不是我写的
kqr的解决方案 nr 2 是我最喜欢的。
但是，在这种特定情况下，我们在列表理解中的后续调用之间丢失了所有计算：
list2 = [i for i in list1 if fib(i) % 2 == 0]
，所以我决定更进一步，在循环步骤之间记住它，如下所示：
def cache_fib(ff):
comp = {0: 0, 1: 1}
def fib_cached(n, computed=comp):
return ff(n, computed)
return fib_cached
@cache_fib
def fib(n, computed={0: 0, 1: 1}):
if n not in computed:
computed[n] = fib(n - 1, computed) + fib(n - 2, computed)
return computed[n]
R 中的解决方案，基准在 1.9 秒内计算 1 到 1000 个斐波那契数列。实际上，在 C++ 或 Fortran 中会快得多，事实上，自从写了第一篇文章以来，我用 C++ 编写了一个等效的函数，它在 0.0033 秒内完成，甚至 python 在 0.3 秒内完成。
#Calculate Fibonnaci Sequence
fib <- function(n){
if(n <= 2)
return(as.integer(as.logical(n)))
k = as.integer(n/2)
a = fib(k + 1)
b = fib(k)
if(n %% 2 == 1)
return(a*a + b*b)
return(b*(2*a - b))
}
#Function to do every fibonacci number up to nmax
doFib <- function(nmax = 25,doPrint=FALSE){
res = sapply(0:abs(nmax),fib)
if(doPrint)
print(paste(res,collapse=","))
return(res)
}
#Benchmark
system.time(doFib(1000))
#user system elapsed
# 1.874 0.007 1.892
有一个 O(1) 解决方案：https ://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number#Computation_by_rounding
import math
PHI = (1 + math.sqrt(5)) / 2
SQRT5 = math.sqrt(5)
def fast_fib(n):
if n < 0:
raise ValueError('Fibs for negative values are not defined.')
return round(math.pow(PHI, n) / SQRT5)
这是一个简单的没有递归和 O(n)
def fibonacci(n):
a, b = 0, 1
for _ in range(n):
a, b = b, a + b
return a
剧透警告：如果您正在做 Project Euler 问题 2，请不要阅读此内容，除非您自己对此有所了解。
除了基于闭式系列求和的方法之外，这似乎比我所看到的大多数/所有内容都更有效，因为它只需要一个相当便宜的循环迭代，即使是斐波那契数，所以只需 12 次迭代即可达到 4,000,000。
def sumOfEvenFibonacciNumbersUpTo(inclusiveLimit):
even = 0
next = 1
sum = 0
while even<=inclusiveLimit:
sum += even
even += next<<1
next = (even<<1)-next
return sum
只是另一种快速解决方案：
def fibonnaci(n):
a = []
while n != 1:
a.append(n&1)
n >>= 1
f1 = 1
f2 = 1
while a:
t = f1 * (f2 * 2 - f1)
f2 = f2 * f2 + f1 * f1
if a.pop() is 1:
f1 = f2
f2 += t
else:
f1 = t
return f1
如果有很多级别的递归，任何这样的问题都需要很长时间才能运行。递归定义有利于以易于理解的方式对问题进行编码，但是如果您需要它运行得更快，则迭代解决方案（例如此线程中的答案）会快得多。
递归计算斐波那契比迭代计算效率最低。我的建议是：
花时间创建一个Fibonacci类作为迭代器，并为索引中的每个元素独立进行计算，可能使用一些@memoize装饰器（以及这里）来缓存所有以前的计算。
希望这可以帮助！
一种快速的方法是递归计算 fib(n/2) 数：
fibs = {0: 0, 1: 1}
def fib(n):
if n in fibs: return fibs[n]
if n % 2 == 0:
fibs[n] = ((2 * fib((n / 2) - 1)) + fib(n / 2)) * fib(n / 2)
return fibs[n]
else:
fibs[n] = (fib((n - 1) / 2) ** 2) + (fib((n+1) / 2) ** 2)
return fibs[n]
from time import time
s=time()
print fib(1000000)
print time()-s
Haskell 1 班轮：-
fibs = 0 : (f 1 1) where f a b = a : f b (a+b)
10^1000这段代码非常高效，可以在不到一秒的时间内计算出高达 ( ) 的斐波那契数！这段代码对于Project Euler中的这个问题也很有用。
要直接找到第一个n偶数斐波那契数的总和，3n + 2请使用您喜欢的方法来有效地计算单个斐波那契数，减一并除以二 ( fib((3*n+2) - 1)/2))。在OEIS之前，数学傻瓜是如何生存的？
如果您不使用浮点运算，则可以使用具有平方根的方程来计算它，但在进行时以其他方式跟踪系数。这给出了O(log n)算术运算（与O(n log n)记忆操作相反）算法。
def rootiply(a1,b1,a2,b2,c):
''' multipy a1+b1*sqrt(c) and a2+b2*sqrt(c)... return a,b'''
return a1*a2 + b1*b2*c, a1*b2 + a2*b1
def rootipower(a,b,c,n):
''' raise a + b * sqrt(c) to the nth power... returns the new a,b and c of the result in the same format'''
ar,br = 1,0
while n != 0:
if n%2:
ar,br = rootiply(ar,br,a,b,c)
a,b = rootiply(a,b,a,b,c)
n /= 2
return ar,br
def fib(k):
''' the kth fibonacci number'''
a1,b1 = rootipower(1,1,5,k)
a2,b2 = rootipower(1,-1,5,k)
a = a1-a2
b = b1-b2
a,b = rootiply(0,1,a,b,5)
# b should be 0!
assert b == 0
return a/2**k/5
if __name__ == "__main__":
assert rootipower(1,2,3,3) == (37,30) # 1+2sqrt(3) **3 => 13 + 4sqrt(3) => 39 + 30sqrt(3)
assert fib(10)==55
这是斐波那契的一些改进版本，我们只计算一次数字的斐波那契：
dicFib = { 0:0 ,1 :1 }
iterations = 0
def fibonacci(a):
if (a in dicFib):
return dicFib[a]
else :
global iterations
fib = fibonacci(a-2)+fibonacci(a-1)
dicFib[a] = fib
iterations += 1
return fib
print ("Fibonacci of 10 is:" , fibonacci(10))
print ("Fibonacci of all numbers:" ,dicFib)
print ("iterations:" ,iterations)
# ('Fibonacci of 10 is:', 55)
# ('Fibonacci of all numbers:', {0: 0, 1: 1, 2: 1, 3: 2, 4: 3, 5: 5, 6: 8, 7: 13, 8: 21, 9: 34, 10: 55})
# ('iterations:', 9)
在这里，我们将每个数字的斐波那契存储在字典中。所以你可以看到它每次迭代只计算一次，而对于 Fibonacci(10) 它只有 9 次。
O(1) 解决方案
该公式也称为比内公式（阅读更多）
基本上，我们可以这样写python：
def fib(n):
a = ((1 + (5 ** 0.5)) / 2)**int(n)
b = ((1 - (5 ** 0.5)) / 2)**int(n)
return round((a - b) / (5 ** 0.5))
但是，由于 b 的值相对较低，我们可以忽略它，函数可以简单为
def fib(n):
return round((((1+(5**0.5))/2)**int(n))/(5**0.5))
我做了一些研究，发现了一个叫做比内公式的公式。这个公式可以在 O(1) 时间内轻松计算出斐波那契数列的第 n 个数。
这是我翻译成 Python 的 Java 代码：
def fibonacci(n):
five_sqrt = 5 ** 0.5
return int(round((((1 + five_sqrt)/2) ** n)/five_sqrt))
for i in range(1, 21):
print(fibonacci(i))
输出：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、2584、4181、6765
我意识到这个问题是 8 年前提出的，并且已经得到了彻底的回答……很抱歉将其反弹回顶部。但总有更多话要说。我在搜索以改进我自己的算法时遇到了这个问题，我想分享一下。
我想提供我自己的看法，因为我发现这并没有真正被提出。我认为我的算法在迄今为止的贡献者中是独一无二的。我利用众所周知的斐波那契数方程（维基百科）来缩小索引。其他一两个简要介绍了一个基本版本，但我更进一步。
这是一个递归算法，但我能够在 0.15 秒内计算出 Fib（200 万），在 2 秒内计算出 Fib（1000 万），在 75 秒内计算出 Fib（1 亿）。都没有错误。我要说的是，它不是计算整个连续斐波那契数列最快的；这最适合挑选出非常大的个体。
到目前为止提到的大多数算法——无论它们有多快——都很难在没有递归深度问题的情况下超过 Fib(100)。一些贡献者避开了我的部分算法，尽管他们有一些我没有的缺点。不是说最好的或任何东西，但我认为它非常快并且可以计算出非常大的谎言。我认为值得加入讨论。
最重要的是，我不使用任何内存。没有任何类型的列表、字典或数组。没有缓存或记忆。甚至没有一个持久保存的常量。没有特殊的包导入。只是基本的、普通的、具有基本整数类型的python。我还扩展了函数来计算对运行时间的影响可以忽略不计的负数。
不过我应该警告一下……我是数学家，而不是程序员。我毫不怀疑这可以进一步改进。而且我不知道大O是什么。
def fib(n):
if n<0: return int(pow(-1, (n&1)+1))*fib(-n)
if n == 0: return 0
if n==1 or n==2: return 1
if n==3: return 2
# n is multiple of 3
if n%3 == 0:
third = n//3
fibthird = fib(third)
return 5*pow(fibthird,3) + 3*pow(-1, third)*fibthird
# even n
if n&1==0:
return pow(fib((n>>1) + 1),2) - pow(fib((n>>1) - 1), 2)
# for odd n
return ( pow(fib((n>>1)+1),2) + pow(fib(n>>1),2) )
运行代码，告诉我你的想法。我很想听听社区的意见。我个人对它印象深刻，并且已经运行了一段时间。不过，在我有限的（编程）知识中找不到改进它的方法。尝试添加列表、记忆、缓存等，要么无法改进任何东西，要么使运行时变得更糟。在极少数情况下，我发现一些可以改善运行时的东西，运行时的好处可以忽略不计，内存成本很高，我认为这不是一个公平的交易。
主要测试
为了增加乐趣，我在下面包含了一个与斐波那契数相关的基本概率 is_prime 测试：
def is_prime_fib(n):
# Fibonacci Probabilistic is_prime test. Compositeness deterministic.
if n==1: return False
if n==5: return True
if n%5 in [1,4] and fib(n-1) % n == 0: return True
if n%5 in [2,3] and fib(n+1) % n == 0: return True
return False
就其本身而言，斐波那契素数检验是概率性的。n=1 和 n=5 的情况是无法产生正确结果的奇怪情况，但它们太明显了，无需担心。除此之外，False 在复合性中是确定性的，True 在素数中是概率性的。通过该测试作为真实通过的复合是斐波那契伪素数。
我知道这是一个老问题，但我想我还是会试一试。
首先，一些基础知识。每三个斐波那契数都是偶数。由于 F(1)+F(2)=F(3)、F(4)+F(5)=F(6) 等，所有偶数斐波那契数占所有斐波那契数总和的一半，直到F(3X)。我们已经有了一个简单的方法来找到所有斐波那契数的总和，直到 F(X)。答案是 F(X+2)-1。我们所要做的就是将该术语除以二，我们就有了答案。
现在稍微偏离一下我们如何在 O(log2(X)) 时间内求解斐波那契。Phi 是一个非常特殊的数字。Phi=(sqrt(5)+1)/2。Φ^2=1+Φ。事实上，Phi^X=F(X-1)+F(X)Phi。带回高中代数，我们知道 Phi^2X=(Phi^X)^2 = (F(X-1)+F(X)Phi)^2 = F(X-1)^2+2F(X-1 )F(X)Phi+(F(X)^2)(Phi^2)。我们知道 Phi^2，所以替换和分发。F(2X-1)+F(2X)Phi=Phi^2X=F(X-1)^2+F(X)^2+Phi(2F(X-1)F(X)+F(X) ^2)。由于斐波那契数是不包含 Phi 的整数，我们现在知道 F(2X-1)=F(X-1)^2+F(X)^2。加上 F(2X+1)=F(X)+F(X+1) 的附加事实，我们可以找到 F(2X)=F(X+1)^2-F(X-1)^2。现在让我们编码！
import math
def fibonacci(x):
a=1 #start at F(-1)
b=0 #start at F(0)
c=1 #start at F(1)
bits=int((math.log2(x)+1)//1) #number of bits in x
for i in range(bits,-1,-1):
#Times 2
d=b*b+a*a
e=c*c-a*a
f=d+e
a=d
b=e
c=f
bit=(x//(2**i))%2
#Plus 1
if bit==1:
a=b
b=c
c=a+b
return b
def fibsum(x):
y=x-(x%3)
return (fibonacci(y+2)-1)//2
print(fibsum(600))
从 Python 3.9 开始，您可以使用缓存装饰器。从文档：
返回与 lru_cache(maxsize=None) 相同的值，为函数参数的字典查找创建一个瘦包装器。因为它永远不需要逐出旧值，所以它比具有大小限制的 lru_cache() 更小更快。
from functools import cache
@cache
def fibonacci(n):
if (n==2) or (n==1):
return 1
else:
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
虽然答案较晚，但可能会有所帮助
fib_dict = {}
def fib(n):
try:
return fib_dict[n]
except:
if n<=1:
fib_dict[n] = n
return n
else:
fib_dict[n] = fib(n-1) + fib (n-2)
return fib(n-1) + fib (n-2)
print fib(100)
这比传统方式快得多
给定起始编号和最大编号；我认为斐波那契的以下解决方案会很有趣。好消息是它不包括递归——从而减少了内存负担。
# starting number is a
# largest number in the fibonacci sequence is b
def fibonacci(a,b):
fib_series = [a, a]
while sum(fib_series[-2:]) <=b:
next_fib = sum(fib_series[-2:])
fib_series.append(next_fib)
return fib_series
print('the fibonacci series for the range %s is %s'
%([3, 27], fibonacci(3, 27)))
the fibonacci series for the range [1, 12] is [3, 3, 6, 9, 15, 24]
这是字典的优化解决方案
def Fibonacci(n):
if n<2 : return n
elif not n in fib_dict :
fib_dict[n]= Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)
return fib_dict[n]
#dictionary which store Fibonacci values with the Key
fib_dict = {}
print(Fibonacci(440))
这比上面的一切都快得多
from sympy import fibonacci
%timeit fibonacci(10000)
262 ns ± 10.8 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000000 loops each)
以下是来自OEIS的更多公式：
其中一些公式在上面的其他评论中有实现。
Project Euler 是练习编码的好地方。
来到你的问题...
斐波那契数列；将最后一个数字之前的数字与最后一个数字相加，得到的总和就是系列中的新数字。
您定义了一个函数，但最好使用 while 循环。
i = 0
x = [0,1,2]
y =[]
n = int(input('upper limit of fibonacci number is '))
while i< n:
z= x[-1]+x[-2]
x.append(z)
if z%2 == 0:
y.append(z)
i = x[-1]
print(i)
print('The sum of even fibbunacci num in given fibonacci number is ',sum(y)+2)
int count=0;
void fibbo(int,int);
void main()
{
fibbo(0,1);
getch();
}
void fibbo(int a,int b)
{
count++;
printf(" %d ",a);
if(count<=10)
fibbo(b,a+b);
else
return;
}