1

我正在尝试解决以下问题。我对仿射变换了解不多。有人可以帮我回答这个问题：

找到一个 3x3 矩阵，表示齐次坐标的 2D 仿射变换（即每个点[x,y]都表示为一个列向量[x, y, 1]），它将正方形[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]转换为平行四边形[0,1],[1,1],[2,2],[1,2]。

4

4 回答 4

1

仿射变换是 x ⟼ Ax + b 形式的变换，其中 x 和 b 是向量，A 是方阵。在几何上，仿射变换将平行四边形映射到平行四边形并保持沿线的相对距离。

为了解决这样的问题，我们首先注意到对于原点，我们有 0 ⟼ A0 + b = b。由于问题告诉我们 [0,0] ⟼ [0,1]，我们知道 b = [0,1]。

接下来我们回顾线性代数，将矩阵乘以标准基向量 [0,1] 和 [1,0] 分别简单地提取矩阵的第一列和第二列：

[a b] [1] = [a],  [a b] [0] = [b].
[c d] [0]   [c]   [c d] [1]   [d]

我们得到 [1,0] ⟼ [1,1] 和 [0,1] ⟼ [1,2]。由此我们得到

[1,1] = A[1,0] + b = [a,c] + [0,1] ⟹ [a,c] = [1,0],
[1,2] = A[0,1] + b = [b,d] + [0,1] ⟹ [b,d] = [1,1].

这给了我们仿射变换

Ax + b = [1 1] x + [0].
         [0 1]     [1]

齐次坐标是一种技巧，它可以让我们将仿射变换写成矩阵，只需一个额外的坐标始终设置为 1。矩阵公式是

[A b] [x] = [Ax+b].
[0 1] [1]   [   1]

这里A实际上是一个2×2矩阵，而b和x是2-vector，左下角的0实际上是[0 0]。所以总的来说，我们正在处理一个 3×3 矩阵和 3 个向量。

所以我们的解决方案是

[1 1 0]
[0 1 1],
[0 0 1]

为了更好地衡量，我们检查它是否适用于最后一点：

[1 1 0] [1]   [2]
[0 1 1] [1] = [2].
[0 0 1] [1]   [1]
于 2014-10-27T22:56:35.003 回答
1

我发现的关于这个问题的事情
1）你需要了解齐次坐标
2）你需要知道行和列专业之间的区别 -在这里阅读
3）你需要知道基本的仿射变换 - 旋转、缩放/剪切和平移以及如何在矩阵中表示它们 -阅读此页面

有趣的是，我认为答案只需要平移和剪切（无需旋转）。
查看源点和目标点，看起来所有目标点都在 y 中平移了 +1，在 X 中被剪切了 1（为了给出平行四边形，最好把它画出来看看我的意思）

所以从一个 3 * 3 的单位矩阵开始，它是

1 0 0
0 1 0
0 0 1

剪切将是
1 1 0
0 1 0
0 0 1

翻译将是
1 0 0
0 1 1
0 0 1

所以把它们放在一起应该是

1 1 0
0 1 1
0 0 1

我通常不使用列专业所以可能值得仔细检查！

希望有帮助

于 2009-11-18T19:01:32.157 回答
0

当然，您已经阅读了有关该主题的Wikipedia页面。

很久以前，我读过Foley 和 van Dam的早期版本之一（这将是 1983 年或 1984 年），它涵盖了使用增强矩阵和向量操作 2D 和 3D 坐标的技术，如问题中所述. 然而，从那时起已经过去了足够长的时间，我已经忘记了所有的细节（并且不再有这本书——搬家太多了）。纽曼和斯普劳尔也有一本书，我似乎记得。

A = [ a  b  c ]    B = [ 0  1  1  0 ]   C = [ 0  1  2  1 ]
    [ d  e  f ]        [ 0  0  1  1 ]       [ 1  1  2  2 ]
    [ g  h  1 ]        [ 1  1  1  1 ]       [ 1  1  1  1 ]

B的列代表正方形的角；C的列代表平行四边形的角；并且必须求解矩阵方程 A x B = C。IIRC，矩阵 A 的右下角为 1；值 c、f、g 和 h 也可能具有预定值（它们可能为零）。非零值应用线性（仿射）变换、缩放、剪切和旋转输入形状。

你需要在教科书中寻找类似的信息。或者在 Wiki 页面中 - 我没有仔细看（上面的信息来自古代记忆）。

于 2009-11-18T01:54:51.120 回答
0

我只是想指出，四点约束了 2D 仿射变换。在 Jonathan Leffler 的评论中，您可以从需要反转非方阵的事实中看出这一点。所以，要么选择三个点，要么建立一个最小二乘系统。过度约束的最小二乘解可以用以下矩阵求解

A = [ a  b  c ]    B = [ 0  1  1  0 ]   C = [ 0  1  2  1 ]
    [ d  e  f ]        [ 0  0  1  1 ]       [ 1  1  2  2 ]
    [ g  h  1 ]        [ 1  1  1  1 ]       [ 1  1  1  1 ]

因此使用正规方程求解给出

A B = C
(A B)^T = B^T A^T = C^T
B B^T A^T = B C^T
A^T = (B B^T)^-1 B C^T

撤消转置给出

A =  ((B B^T)^-1 B C^T)^T
于 2009-12-29T10:58:45.010 回答