algorithm - 根据与长轴或短轴的角度找到椭圆的半径

Question

我正在使用 UE3 并正在制作我的 HUD。我已经在画布上完成了它，并且有一个圆形按钮 - 问题是在不是方形的屏幕上，按钮是一个椭圆形。因此，这会导致检测鼠标是否“在”按钮上的问题。

这是因为整个椭圆的半径不同，圆的情况也是如此。

我的下划线问题是：

鉴于我知道，我如何计算椭圆相对于点（鼠标位置）的半径：

• 长轴和短轴的半径
• 与点（鼠标位置）的轴（主要和次要）的角度

Answer 1

在椭圆以原点为中心且长轴和短轴分别平行于 x 轴和 y 轴的简单情况下，椭圆可以通过方程x = a cos(t)和参数化y = b sin(t)，其中a和b是长轴和短轴，并且t是从 0 到 2pi 变化的角度。所以在这种情况下，要回答你的问题，角度 t 的半径是

r = sqrt( x^2 + y^2 ) = sqrt( a^2 cos^2(t) + b^2 sin^2(t) )

现在，这可以通过以下方式变得更复杂

(i) 椭圆不以 (0,0) 为中心

(ii) 长轴和短轴不平行于 x 轴和 y 轴，因为长轴与正 x 轴形成角度 t0。

(iii) (i) 和 (ii) 的组合。

但是，通过正确的修改，上述解决方案也可以应用于这些情况。对于 (i)，从上面等式中的 x 和 y 中减去中心，以获得中心点的半径。对于 (ii)，上述方程适用于变量 x',y'，其中 (x',y')^T = R(t0) (x,y)^T 其中 R(t0) 是旋转矩阵正确定位椭圆。因此，为 x' 和 y' 形成上面的方程，然后通过求解上面的矩阵方程来替换 x 和 y 的表达式。

Answer 2

轴对齐椭圆方程（我很确定你的椭圆是轴对齐的，也就是说，你的显示矩阵没有倾斜）：

((xx ₀ )/a) ² + ((yy ₀ )/b) ² = 1

其中椭圆以 (x ₀ , y ₀ ) 为中心，其半轴为 a 和 b。

如果等式成立，则点 (x,y)在椭圆上。替换=1为<1，您将得到 (x,y)在椭圆内的条件。