1

我不确定这在 Mathoverflow 上是否会更好，但我想我会先在这里检查。我尽量做到简洁明了；如果有什么需要清理的，请告诉我。

背景

我在 R3 中有两组点，它们以（或多或少）任意定向的椭圆体的形式分布。我希望在这两个椭圆体之间插入一个管状结构。我也有这个管状结构所需中心线的坐标。

我使用在 Matlab 中实现的 Khachiyan 算法 [1] 以最小体积包围椭圆体来近似任一端的椭圆体，该算法返回椭圆体中心的坐标 (C) 和中心形式的椭圆矩阵 (A)，这样：

(x - C)' * A * (x - C) = 1

然后我使用奇异值分解提取椭圆体的轴长度 (a,b,c) 和旋转矩阵 (V)：

[U,D,V] = svd(A);
a = 1/sqrt(D(1,1));
b = 1/sqrt(D(2,2));
c = 1/sqrt(D(3,3));

我可以轻松地插入轴长度参数（例如线性、样条）。为了在方向之间进行插值，我首先将旋转矩阵转换为四元数表示。然后对于沿中心线的每个点，我使用在另一个 Matlab 文件 [2] 中实现的球面线性插值 (SLERP)：

for iPoint = 1 : nPoints
  t = iPoint / (nPoints + 2);
  quat = slerp(startQuat,endQuat,t,0.001);
  R = quat2rot(quat);
end

这就是我卡住的地方。

不幸的是，尽管 SLERP “在其四元数端点之间给出了一条最直和最短的路径”，[3] 得到的插值椭球有时会在“错误”的方向上旋转。也就是说，插值不会产生光滑的管子，而是会产生一种扭曲的椭圆柱（见下图）。

我尝试检查两个四元数的点积是否为负，如果是，则使用quatinv. 但是，反转会导致完全不正确的结果（请参见下面的第二张附图）。

我的问题是：为什么会发生这种情况，我能做些什么来纠正这种行为？也就是说，如何沿着两个椭球方向之间的“真实”最短路径进行插值？

任何建议将不胜感激！

更新

我已经创建了一个最小的工作示例和一个所需的数据文件。我还附上了结果的截图。我已经将它们压缩并上传到 Dropbox。[4]

椭球插值

带反演的椭球插值

[1] http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/9542-minimum-volume-enclosing-ellipsoid/content/MinVolEllipse.m

[2] http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/11827-slerp/content/slerp.m

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Slerp

[4] https://dl.dropboxusercontent.com/u/38218/ellipsoidInterpolation.zip

4

1 回答 1

0

解决方案是通过参考椭球之一的旋转矩阵的逆来旋转所有东西，使得该参考椭球是轴对齐的（即没有旋转）。然后在对每个椭球进行插值后，通过乘以原始旋转矩阵将其旋转回原始参考系。

我附上了结果的截图：

在此处输入图像描述

更新

显然，这并不适用于所有情况。我在这里发布了一个新问题。

于 2013-05-29T19:31:32.550 回答