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刷新浮点数（也是PDF）、IEEE-754 并参与了关于在转换为字符串时进行浮点舍入的讨论，这让我想到了修补程序：如何获得二进制表示的给定浮点数的最大值和最小值是平等的。

免责声明：对于本次讨论，我喜欢使用 IEEE-754 描述的 32 位和 64 位浮点。我对扩展浮点（80 位）或四边形（128 位 IEEE-754-2008）或任何其他标准（IEEE-854）不感兴趣。

背景：计算机不擅长以0.1二进制表示。在 C# 中，浮点数将其表示为3DCCCCCD内部（C# 使用四舍五入），双精度数表示为3FB999999999999A. 相同的位模式用于十进制0.100000005(float) 和0.1000000000000000124(double)，但不用于0.1000000000000000144(double)。

为方便起见，以下 C# 代码给出了这些内部表示：

string GetHex(float f)
{
    return BitConverter.ToUInt32(BitConverter.GetBytes(f), 0).ToString("X");
}

string GetHex(double d)
{
    return BitConverter.ToUInt64(BitConverter.GetBytes(d), 0).ToString("X");
}

// float
Console.WriteLine(GetHex(0.1F));

// double 
Console.WriteLine(GetHex(0.1));

在 的情况下0.1，没有用相同位模式表示的小十进制数，任何0.99...99将产生不同的位表示（即，内部0.999999937产生的浮点数3F7FFFFF）。

我的问题很简单：如何找到内部存储在相同二进制表示中的给定浮点（或双精度）的最低和最高十进制值。

为什么：（我知道你会问）在 .NET 转换为字符串以及从字符串转换时查找舍入错误，以找到内部精确值并更好地理解我自己的舍入错误。

我的猜测是这样的：取尾数，去掉其余的，得到它的确切值，得到一个（尾数位）高，然后计算平均值：低于它的任何东西都会产生相同的位模式。我的主要问题是：如何将小数部分作为整数（位操作它不是我最强的资产）。Jon Skeet 的 DoubleConverter类可能会有所帮助。

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2 回答 2

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解决问题的一种方法是查找浮点数的ULP或Last Place中的Unit的大小。稍微简化一下，这是给定浮点数和下一个更大数字之间的距离。再次简化一点，给定一个可表示的浮点值 x，任何值在 (x - 1/2 ulp) 和 (x + 1/2 ulp) 之间的十进制字符串在转换为浮点数时将被舍入为 x -点值。

诀窍是 (x +/- 1/2 ulp) 不是可表示的浮点数，因此实际计算它的值需要您使用更宽的浮点类型（如果可用）或任意宽度的大小数或类似的类型来进行计算。

如何找到 ulp 的大小？一种相对简单的方法大致是您建议的方法，这里写的是 C-ish 伪代码，因为我不懂 C#：

float absX = absoluteValue(x);
uint32_t bitPattern = getRepresentationOfFloat(absx);
bitPattern++;
float nextFloatNumber = getFloatFromRepresentation(bitPattern);
float ulpOfX = (nextFloatNumber - absX);

这是有效的，因为在 x 的位模式上加一恰好对应于在 x 的值上加一 ulp。减法中不会发生浮点舍入，因为所涉及的值非常接近（特别是 ieee-754 浮点算术的定理，如果两个数 x 和 y 满足 y/2 <= x <= 2y，然后x - y精确计算）。这里唯一需要注意的是：

  1. 如果 x 恰好是最大的有限浮点数，这将不起作用（它将返回inf，这显然是错误的）。
  2. 如果您的平台不能正确支持逐渐下溢（例如嵌入式设备以清零模式运行），则这不适用于非常小的 x 值。

听起来您不太可能处于这两种情况中，因此这应该可以很好地满足您的目的。

现在您知道 x 的 ulp 是什么，您可以找到四舍五入为 x 的值的区间。您可以精确地以浮点计算 ulp(x)/2，因为浮点除以 2 是精确的（同样，除非下溢）。然后你只需要计算 x +/- ulp(x)/2 合适的更大的浮点类型（double如果你有兴趣的话会起作用float）或 Big Decimal 类型的值，并且你有你的间隔。

我通过这个解释做了一些简化的假设。如果您需要真正准确地说明这一点，请发表评论，当我有机会时，我将扩展有点模糊的部分。

另请注意您的问题中的以下陈述：

在 0.1 的情况下，没有用相同的位模式表示的低十进制数

是不正确的。您只是碰巧查看了错误的值（0.999999... 而不是 0.099999... - 很容易打错）。

于 2009-11-03T16:58:18.620 回答
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Python 3.1 刚刚实现了这样的功能：查看更新日志（向下滚动一点）、错误报告。

于 2009-11-17T20:22:06.390 回答