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今天在课堂上，我的计算机老师正在向我们解释（或试图解释）如何使用二进制补码写一个负二进制数。我的问题是这样的：

最终用户如何确定 11101100 为 236 和 -20 之间的差异？我知道您总是可以检查最重要的位，但这总是 100% 准确吗？负二进制数的惯例是让最高有效位表示符号吗？

旁注：
为什么我们可以学习二进制减法：

将二进制转换为 denary -> 减去 denary -> 重新转换为二进制

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4 回答 4

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问题一：

“负二进制数的惯例是让最高有效位表示符号吗？”

有多种方法可以用二进制表示负数。最常见的是您正在学习的二进制补码表示。在那个系统中，是的，最高位将指示数字的符号（如果 0 与正数分组）。

在标准的无符号二进制中，数字由位置符号中的位序列表示（为简洁起见，我将只使用三位）：

b 2 b 1 b 0 = 2 2 b 2 + 2 1 b 1 + 2 0 b 0 = 4b 2 + 2b 1 + b 0

111 2 = 7 10
110 2 = 6 10
101 2 = 5 10
100 2 = 4 10
011 2 = 3 10
010 2 = 2 10
001 2 = 1 10
000 2 = 0 10

二进制补码
有几种方法可以查看 2 码补码，我认为答案在所有这些方法中都很明显。获得这个系统的一种方法是获取无符号数的上半部分（它们都设置了高位）并将它们移动到零以下：

011 2 = 3 10
010 2 = 2 10
001 2 = 1 10
000 2 = 0 10
111 2 = -1 10
110 2 = -2 10
101 2 = -3 10
100 2 = -4 10

您可以清楚地看到高位表示符号。同样，0 占据了 4 个正表示之一，这导致范围不是对称的：[3, -4]（尽管有时最负的值被认为是特殊的，从而使可用范围对称）。等效地，我们可以将最高位重新解释为负数：

b 2 b 1 b 0 = -(2 2 ) b 2 + 2 1 b 1 + 2 0 b 0 = -4 b 2 + 2b 1 + b 0

显然，由于高位具有比所有其他位组合更大的权重（在绝对值的意义上），如果设置了，则结果为负。如果未设置，则所有剩余权重都是正数，因此结果也是如此。

从这个定义，我们可以得出第三种解释：众所周知的规则-a = ~a + 1（其中-表示算术否定，~表示按位补码，我们忽略溢出）：

a + ~a = -4b 2 + 2b 1 + b 0 + -4(~b 2 ) + 2(~b 1 ) + ~b 0
a + ~a = -4(b 2 +~b 2 ) + 2 (b 1 +~b 1 ) + (b 0 +~b 0 )
a + ~a = -4(1) + 2(1) + (1)
a + ~a = -1
a = -(~a + 1)
-a = ~a + 1

在这里，我们看到否定翻转了高位，因此它表示数字的符号。请注意，这并非严格意义上的正确，因为如果所有其他位都已设置，则加一可以将高位翻转回来。但是，这仅适用于 0 和最负数（在本例中为 -4 10或 100 2），两者在取反时保持不变。

使用 2s-complement 的好处是可以使用相同的硬件进行有符号和无符号加法。这个很好的属性不适用于过去使用过的其他负二进制表示，我将简要介绍其中的一些。由于这个事实，现代 CPU 几乎总是使用这种表示来进行整数运算（我不知道最近有任何商业反例，但它们可能就在那里）。这就是您学习它的原因（而不是Convert binary to denary -> subtract denary -> reconvert into binary）：了解操作如何在 ALU 的门级工作。

One's-complement
1s-complement 与 2s-complement 密切相关。求反仅通过反转位来执行（不加 1）。前导位仍然表示符号，但正零和负零有不同的表示。我个人从未遇到过 1s 补码的实际使用，但它具有历史意义。

b 2 b 1 b 0 = -3b 2 + 2b 1 + b 0

011 2 = 3 10
010 2 = 2 10
001 2 = 1 10
000 2 = 0 10
111 2 = -0 10
110 2 = -1 10
101 2 = -2 10
100 2 = -3 10

符号和大小
符号和大小最接近人类通常写负数的方式。低两位具有与上述系统相同的权重，高位没有（附加）权重。相反，它只会改变结果的符号。显然，这里的前导位表示符号。与 1 的补码一样，0 也有两种表示形式。它今天仍在 IEEE 浮点数的尾数中使用（尽管指数位于符号和幅度之间）。

b 2 b 1 b 0 = (-1) b 2 (2b 1 + b 0 )

0 11 2 = + 3 10
0 10 2 = + 2 10
0 01 2 = + 1 10
0 00 2 = + 0 10
1 00 2 = - 0 10
1 01 2 = - 1 10
1 10 2 = - 2 10
1 11 2 = - 3 10

Excess-n
Excess-n 更像是一个系统家族。所有值都上移 n （称为偏差），然后表示为无符号情况。如果选择了正确的偏置，则前导位可以指示符号，尽管极性与上述系统不同（并且 0 可以与负或正分组）。这仍然用于 IEEE 浮点数的指数。对于 n = 3，高位确实表示符号，并且 0 与负数分组：

b 2 b 1 b 0 = 4b 2 + 2b 1 + b 0 - n

111 2 = 4 10
110 2 = 3 10
101 2 = 2 10
100 2 = 1 10
011 2 = 0 10
010 2 = -1 10
001 2 = -2 10
000 2 = -3 10

其他
还有其他更深奥的整数表示，例如平衡三进制、base-negative-2 或（可以说）二进制编码的十进制（或简称 BCD）。我说 BCD 有争议的原因是现代处理器通常仍然支持它（尽管它不是数字在内部表示的方式）并且许多计算器曾经基于它。在这些系统中，前导位（或 trit 或 base-n 数字）可能表示也可能不表示符号（或在某些情况下可能表示符号但在其他情况下不表示）。

问题2：

“最终用户如何确定 11101100 为 236 和 -20 之间的差异？”

正如其他人指出的那样，一般来说，没有办法判断存储在寄存器或内存中的数字实际上是 2s 补码还是无符号数。您基本上必须跟踪它所做的事情才能确定这一点。

但是，如果数字是直接存储在机器代码指令中的立即数，则操作码可以指示它是否已签名（取决于架构）。例如，这可能会改变处理溢出的方式，或者是否执行符号扩展。

例如，可能有单独的“加载立即数”和“加载有符号立即数”指令将立即数值复制到更大的寄存器中，第二个执行符号扩展而第一个不执行符号扩展。“分支”指令通常有一个带符号的立即数来指示跳转的大小（以便向前和向后分支都可以使用单个指令）。可能有不同的“添加立即数”和“添加无符号立即数”指令，它们为加法类型适当地设置溢出标志。

符号扩展
符号扩展意味着复制高位以保留 2s 补数的值。这将对一半的无符号数产生不正确的结果。

未执行符号扩展：

100 2 = 00000100 2
无符号：4 10 = 4 10
有符号：-4 10 = 4 10

执行符号扩展：

100 2 = 11111100 2
有 符号：-4 10 = -4 10
无符号：4 10 = 252 10

001 2 = 00000001 2
有符号和无符号：1 10 = 1 10

溢出
添加或减去两个数字可能会产生太大（绝对意义上）无法正确表示的结果。相同的两个二进制序列相加可能会导致有符号数溢出，但不会导致无符号数溢出（反之亦然）。

有符号溢出但无符号不会：

011 2 + 011 2 = 110 2
有符号：3 10 +3 10 = -2 10
无符号：3 10 +3 10 = 6 10

无符号溢出但有符号不会：

111 2 + 010 2 = 001 2
无符号：7 10 + 2 10 = 1 10
有符号：-1 10 + 2 10 = 1 10

于 2013-05-18T15:02:10.090 回答
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  1. 在二进制补码表示法中，最高位始终表示符号。但是，您必须知道字段宽度，并且您还必须知道是否使用了二进制补码表示法。例如，如果 11101100 是 32 位数字，则最高有效位为 0，因此为 +236。如果它是一个无符号8 位整数，则为 +236，因为无符号数不使用二进制补码表示法（只有有符号数才使用）。

  2. 二进制的加法和减法是计算机的工作方式。因此，了解计算机的工作原理很有用。

于 2013-05-18T09:26:39.937 回答
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最终用户如何确定 11101100 为 236 和 -20 之间的差异？

用户不能仅从位模式确定它。一些上下文必须告诉这个字节是有符号的还是无符号的。在大多数编程语言中，通过跟踪类型来跟踪此上下文。因此，在 C 或 C++ 中，您拥有signed charand unsigned char。（普通的旧char可能是其中之一）。

二进制减法起作用的原因是它（像其他一些操作一样）恰好与位模式完全相同，即使您的类型“错误”。想到这一点的一种方法是（对于这些操作）你正在做算术模 256，并且模 236 和 -20 实际上是同一个数字的两个名称。

于 2013-05-18T09:23:55.957 回答
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简短的回答是，这取决于您如何使用它。几乎所有现代编译器都将它们的整数值表示为二进制补码。这是一个约定。如果您在汇编中编写代码，那么您必须更加注意内存或寄存器中的内容，但在高级语言中，值的数据类型会告诉您。如果类型是有符号的，则 MSB 是符号位，否则不是。数据类型还告诉您值中有多少位，因此您将能够识别哪个位是 MSB。例如，int8_t 始终为 8 位且有符号，而 uint8_t 始终为 8 位但无符号。只要你知道如何识别数据类型，当你看到它以二进制表示时，你就知道如何解释内存中的值。

于 2013-05-23T06:07:33.170 回答