3d - 四面体高度顶点

Question

如果给定不规则四面体的顶点坐标 A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2) C(x3,y3,z3) D(x4,y4,z4) 我需要计算 3d 坐标 h(x ，y，z）从顶点A的高度。经过多次谷歌搜索，我只能找到重心坐标而不是高度的顶点。请帮忙。

Answer 1

三点 B、C、D 定义平面a*x+b*y+c*z-d=0，其中

a = y2 * (z3 - z4) + y3 * (z4 - z2) + y4 * (z2 - z3)
b = z2 * (x3 - x4) + z3 * (x4 - x2) + z4 * (x2 - x3) 
c = x2 * (y3 - y4) + x3 * (y4 - y2) + x4 * (y2 - y3) 
d = x2 * (y3 * z4 - y4 * z3) + x3 * (y4 * z2 - y2 * z4) + x4 * (y2 * z3 - y3 * z2)

（源自数学世界公式（18）） 该平面的法向量是（a，b，c）。

H 点 - 距顶点 A 的高度，因此 AH 向量垂直于 BCD 平面，H 位于 BCD 平面内。H = (x1+k*a, y1+k*b, z1+k*c)，只需将这些坐标代入平面方程，求解k系数，然后计算H点坐标

替代：a*(x1+k*a) + b*(y1+k*b)+c*(z1+k*c)-d=0