graphics - 如何获得 Hermite 样条中端点的斜率？

Question

所以厄米特曲线中非端点 P1 的斜率为 (P2-P0)/2。但是，如果我不希望斜率为 0，你将如何获得端点的斜率？

Answer 1

我猜你的意思是由两个端点和一个（内部）控制点定义的二次贝塞尔曲线，因为 Hermite 曲线已经由切线向量定义（斜率只是 R _{i y} / R _{i x}，i= 0..1，其中 R ₀和 R ₁是切向量）。此外，Hermite 曲线是三次曲线，有 4 个控制点，即。2个内部控制点。

因此，对于由 P ₀、 P ₁、 P ₂定义的二次贝塞尔曲线，端点处的切线 = 点 P ₀和 P ₃只是

T ₀ = P ₁ - P ₀
T ₁ = P ₂ - P ₁

所以斜率是

s ₀ = T _{0 y} / T _{0 x}
s ₁ = T _{1 y} / T _{1 x}

这就是为什么这些曲线如此有用的原因，因为它们是由我们为了设计目的而想要控制的特征定义的（通过将控制点放置在通过公共端点的直线上来实现段之间的连续性）。

二次贝塞尔曲线也可以被认为是退化三次贝塞尔曲线，其中 2 个内部控制点重合（它们是同一点）；因此，将“3 点”曲线转换为 Hermite 形式的第一步是复制中间点以生成三次 Bezier 形式。

B ₀ = P ₀
B ₁ = P ₁
B ₂ = P ₁
B ₃ = P ₂

然后，使用 Foley 和 Van Dam 的方程 (13.32)，交互式计算机图形学基础，可以通过矩阵乘法生成 Hermite 形式

G_h = [ [ H_0 ]   = [ [  1  0  0  0 ]   [ [ B_0 ]    = M_hb G_b
        [ H_1 ]       [  0  0  0  1 ]     [ B_1 ]
        [ T_0 ]       [ -3  3  0  0 ]     [ B_2 ]
        [ T_1 ] ]     [  0  0 -3  3 ] ]   [ B_3 ] ]

IE。两个端点相同（H ₀ = B ₀，H ₁ = B ₃），切向量只是相关点的加权和（T ₀ = -3*B ₀ + 3*B ₁，T ₁ = -3*B ₂ + 3*B ₃ )。

这里的切向量与上面第一个定义的大小不同，但方向（因此，斜率）是相同的。