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找到具有多个根的方程的根的最佳方法是什么。我知道没有一种方法可以解决每个方程，并且您必须使用多个方程，但是我找不到可以在最简单的实例中求解多个根的求根算法。

例如：y = x^2

尽管求解像这样的基本方程的根求解算法很有帮助，但它需要我可以适应以求解具有两个以上根的方程。

还要注意的一件事是，这些方程不会是典型的多项式，但可能是诸如ln(x^2) + x - 15 = 0

什么是可以解决此问题的求根算法，或者您如何编辑诸如二分法/牛顿/布伦特方法之类的求根算法来解决此问题，（假设我是正确的，牛顿和布伦特的方法只能解决为一个根）。

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3 回答 3

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底线：您需要自己隔离根源。

细节取决于算法：如果您使用二分法或布伦特方法，您需要提出一组间隔，每个间隔都包含一个唯一的根。如果使用牛顿法，您需要提出一组起始估计（因为它会收敛到给定起点的根，并且在不同的起点下，它可能会或可能不会收敛到不同的根）。

于 2013-04-21T23:03:10.640 回答
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正如大家所说，不可能提供一个通用的算法来找到所有或一些根（其中一些大于一）。一些是多少根？通常，您无法找到所有根，因为许多函数将具有无限多个根。

即使像牛顿这样的方法也不总是收敛到一个解决方案。我倾向于喜欢一种好的、相当稳定的方法，它会在合理的情况下收敛到一个解决方案，例如一个已知函数会改变符号的括号。您可以找到这样的代码，它在单根上具有良好的收敛行为，但在函数表现不佳时仍然受到保护，基本上类似于二等分方案。

所以，给定一个不错的求根方案，你可以尝试一些简单的事情，比如通货紧缩。因此，考虑一个简单的函数，例如第一类 Bessel 函数。我将使用 MATLAB 完成所有示例，但是任何具有稳定编写良好的 rootfinder（如 MATLAB 中的 fzero）的工具就足够了。

ezplot(@(x) besselj(0,x),[0,10])
grid on

在此处输入图像描述

f0 = @(x) besselj(0,x);
xroots(1) = fzero(f0,1)
xroots =
    2.4048

从图中，我们可以看到在 5 或 6 附近有第二个根。

现在，为该根缩小 f0，创建一个基于 f0 的新函数，但该函数在 xroots(1) 处缺少根。

f1 = @(x) f0(x)./(x-xroots(1));
ezplot(f1,[0,10])
grid on

在此处输入图像描述

请注意，在这条曲线中，f0 在 xroots(1) 处的根现在已被删除，就好像它不存在一样。我们能找到第二个根吗？

xroots(2) = fzero(f1,2)
xroots =
    2.4048    5.5201

我们当然可以继续，但在某些时候这个方案会因为数值问题而失败。而且这种失败也不会花费太长时间。

更好的方案可能是（对于一维问题）使用括号方案，结合抽样方法。我说得更好，因为它不需要修改初始函数来放气根。（对于 2-d 或更高版本，事情当然会变得更加复杂。）

xlist = (0:1:10)';
flist = f0(xlist);

[xlist,flist]
ans =
         0    1.0000
    1.0000    0.7652
    2.0000    0.2239
    3.0000   -0.2601
    4.0000   -0.3971
    5.0000   -0.1776
    6.0000    0.1506
    7.0000    0.3001
    8.0000    0.1717
    9.0000   -0.0903
   10.0000   -0.2459

如您所见，该函数在区间 [2,3]、[5,6] 和 [8,9] 中具有符号变化。可以在括号中搜索的 rootfinder 将在这里进行。

fzero(f0,[2,3])
ans =
    2.4048

fzero(f0,[5,6])
ans =
    5.5201

fzero(f0,[8,9])
ans =
    8.6537

只需查找符号更改，然后将已知括号放入根查找器。这将提供尽可能多的解决方案，您可以找到括号。

请注意，上述方案存在严重问题。它将完全找不到像 f(x)=x^2 这样的简单函数的双根，因为不存在符号变化。如果您选择的采样过于粗略，那么您可能会有一个包含两个根的区间，但您不会在端点处看到符号变化。

例如，考虑函数 f(x) = x^2-x，它在 0 和 1 处有单根。但是如果你在 -1 和 2 处对该函数进行采样，你会发现它在两个点上都是正的。没有符号变化，但有两个根。

同样，没有任何方法可以做到完美。您总是可以设计一个会导致任何此类数值方法失败的函数。

于 2013-04-21T23:54:32.850 回答
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我会说没有通用方法可以找到通用方程的所有根。但是，一旦指定了足够的条件，就可以尝试和设计方法。即使是简单的二次方程 ax 2 + bx + c = 0 也不是完全无关紧要的，因为实根的存在取决于 b 2 -4ac 的符号，这并不立即显而易见。所以有很多技术可以应用，例如Newton-Raphson，但没有针对一般情况的通用方法，特别是对于像 ln(x 2 )+x-15 = 0 这样的方程。

于 2013-04-21T23:00:05.867 回答