rotation - 局部坐标系中的旋转，表示为四元数

Question

下图显示了位于全局坐标系 G 中的两个坐标系 A 和 B：

我需要找到将 A 旋转到 B，但在 A 本地的框架中表示的四元数。

第一部分很简单，B.conjugate()*A（从 的旋转中减去 的旋转B）A，得到围绕 的 π/2 旋转(-1,0,0)。这显然是正确的，因为A绕全局-x轴旋转 90° 得到B.

现在我需要用 ; 来表达这个结果A。期望的结果是 π/2 左右(0,0,-1)（这就是 A 中的全局-x），但我无法仅通过旋转组合到达那里。

我可以将四元数转换为角轴表示（π/2 左右(-1,0,0)），将轴旋转为A*(-1,0,0)=(0,0,-1)，然后转换回四元数，但如果可能的话，我想避免这种转换。

如何仅使用四元数乘法获得旋转？

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代码本身是 c++，但我在 python 中使用minieigen检查：

from minieigen import *
from math import *
A=Quaternion((0,-1,0),pi/2)
B=Quaternion((sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,sqrt(3)/3),(2/3.)*pi)
# rotation in global frame:
rg=B.conjugate()*A           # is Quaternion((-1,0,0),pi/2)
# rotation in local frame:
# ?? what now?! hack around with angle-axis
aa=rg.toAngleAxis()
rl=Quaternion(A*aa[1],aa[0]) # is Quaternion((0,0,-1),pi/2)

for q in A,B,rg,rl: print q

这使：

Quaternion((0,-1,0),1.5707963267948966)
Quaternion((0.5773502691896257,-0.5773502691896257,0.5773502691896257),2.0943951023931953)
Quaternion((-1,-7.850462293418876e-17,-7.850462293418876e-17),1.5707963267948968)
Quaternion((-1.1102230246251568e-16,-7.850462293418877e-17,-1),1.5707963267948968)

Answer 1

这很容易，但我把它留在这里记录下来：

A*B.conjugate()

Answer 2

你的方程式不太适合我。

我将使用Q'表示 Q.conjugate。现在我们知道Q'*Q是恒等式，所以它是Q*Q'。因此，如果您想知道将A转换为B的四元数（在全局框架中，因为A和B都在全局框架中），那么您从该等式开始（假设这些四元数表示应用于列向量的旋转）：

Q*A=B

然后你把A移到另一边

Q*A*A'=B*A'=Q

我们可以看到这是正确的，因为B*A'*A=B。您问题中的方程式说B'*A*A=B。我认为，这在一般情况下并不成立。

现在，如果您希望旋转在A的框架而不是全局框架中，这相当于说您想要B在A的框架中。这与从B中删除A相同。像这样：A'*B。这样，如果你从A的框架旋转到全局框架，你会再次得到B：A*A'*B=B。